Área entre curvas

RKA4JL - Nós já sabemos que a área entre o gráfico de uma função e o eixo x pode ser obtida por meio da integral definida. Nós vamos estender essa ideia para a ideia de área entre curvas. Digamos que eu queira achar a área no intervalo de "a" até "b" de valores de x, mas eu quero a área entre os gráficos de f(x) e de g(x), ou seja, estou falando desta área exatamente aqui. Pensando no que já sabemos de áreas sob o gráfico e integrais definidas, o que você pode fazer para calcular esta área aqui? É bastante natural que você pense em fazer o seguinte: calcular a integral definida de "a" até "b" para a função f(x), que vai dar a área entre o gráfico de f(x) e o eixo x, ou seja, essa área inteira que eu estou pintando de alaranjado, e dela eu posso subtrair esta área que estou fazendo de verde, que é a área entre o gráfico do g(x) e o eixo x. E essa área é a integral definida de "a" até "b" do g(x) até x. O resultado, então, vai ser de fato a área que estou procurando, e pelas propriedades das integrais posso transformar essa integral de "a" até "b" de (f(x) menos g(x)) dx. Mas é nesse momento que vamos evoluir um pouco mais nesse vídeo. Observe que neste primeiro intervalo de "a" até "b", os valores de f(x) são maiores que os valores de g(x), ou seja, a curva do "f" está para cima da curva do "g". Por isso nós deduzimos que essa área que queremos entre as curvas é a integral de (f(x) menos g(x))dx no intervalo. Nós vamos ver que isso vale em qualquer situação entre as duas curvas. Aqui nessa primeira situação estava fácil porque ambas estavam acima do eixo x. Mas e o caso em que o f(x) está acima do eixo x e o g(x) está para baixo do eixo x? Por exemplo, vamos pensar neste intervalo aqui de "c" até "d". O que nós vamos fazer se queremos calcular a área entre as duas curvas? Você pode dizer: "Será que é a mesma ideia que fizemos acima vai funcionar?" Vamos verificar o que a integral de "c" até "d" da função f(x)dx representa. Ela representa esta área aqui. Agora, a integral de "c" até "d" do g(x) dx, o que ela representa? Você já pode afirmar que é esta área aqui entre o gráfico de "g" e eixo x, mas veja: essa área está para baixo do eixo x, então o valor dessa integral é negativo. Então observe que para achar a área inteira entre as duas curvas eu vou tomar a área sob o gráfico de f(x), entre f(x) e o eixo x, menos essa área entre o gráfico de g(x) e o eixo x, que é negativa. Então nós vamos ter um “menos”, um negativo, que vai formar um “mais” e nos dará o valor da área total, ou seja, eu faço a integral de "c" até "d" para a função "f" menos a integral de "c" até "d" para a função "g". Observe que a integral da função "g" nos limites de "c" até "d" vai ser negativa. De novo, então, aquela área entre as duas curvas é a integral de "c" até "d" de (f(x) menos g(x))dx, ou seja, se o gráfico de uma função está acima do eixo x e o outro está abaixo do eixo x, continuamos com a mesma ideia de fazer a integral de "f" menos "g" para saber a área entre as curvas. Agora, e na situação em que ambas estão para baixo do eixo x? Vamos estabelecer, então, um novo intervalo, começando em "m" indo até "n" nós queremos saber a área entre as duas curvas, essa área aqui. Observe que estamos assumindo que "f" é maior que "g", embora ambas abaixo do eixo x. Como é que eu chego, então, na área entre as curvas no intervalo de "m" até "n"? Se formos obter a integral de "m" até "n" do (f(x) menos g(x)) dx, sabemos que pelas propriedades das integrais podemos escrever isso como a integral de "m" até "n" de f(x) menos a integral do "m" até "n" de g(x) dx. Vamos pensar, agora, no que cada uma dessas integrais representam. A primeira integral de "f" nos dá essa área entre o gráfico laranja de "f" e o eixo x, mas é um valor negativo. Agora, a integral de "m" até "n" da função g(x) dx, o que ela tem para nós? Trata-se desta área toda aqui, porém também é um valor negativo. Então observe que toda essa parte da conta tem um sinal negativo e vai nos dar essa área inteira. Mas como a área está abaixo do eixo x e é negativa, vamos ter aqui um "menos menos" que resulta em "mais", positivo. Mas a área que está aqui embaixo, que é a que nos importa, para chegar até ela devemos pegar essa área toda, que vem da integral de g(x), menos a área alaranjada que vem da integral de f(x). A área laranjada é, então, a integral da função f(x) e é um valor negativo porque a área está abaixo do eixo x. Mas o "menos" da conta e o sinal negativo da integral de g(x) vão fazer aparecer um "mais", então aquele "menos", aquele número negativo da integral de f(x) mais o valor da integral de g(x), já com o sinal positivo, vai resultar exatamente nessa área em branco entre as duas curvas. Resumindo, em qualquer intervalo em que f(x) é maior que g(x), para achar a área entre as curvas das duas funções, basta fazer a integral de "f" menos g" dx no intervalo desejado. Até o próximo vídeo!