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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 8
Lição 4: Cálculo da área entre curvas expressas como funções de x- Área entre uma curva e o eixo x.
- Área entre uma curva e o eixo x: área negativa
- Área entre uma curva e o eixo x.
- Área entre curvas
- Exemplo resolvido: área entre curvas
- Área entre duas curvas dados os pontos finais
- Área entre duas curvas
- Área composta entre curvas
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Área composta entre curvas
Às vezes precisamos dividir a área em várias áreas diferentes, pois as funções delimitantes mudam. Versão original criada por Sal Khan.
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- Para fazer a integral direito em relação a
descobrir a área e utilizar os intervalos de cada ponto do gráfico né ?(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA4JL - O que eu quero fazer neste vídeo é achar a área dessa região que estou pintando de amarelo. O que pode parecer difícil é que através dessa região
eu tenho esta função inferior. Eu suponho que o limite inferior é
y igual a (x² sobre 4) menos 1, mas eu tenho limite superior diferente e a forma como podemos resolver isso
é dividindo essa área em duas seções, ou dividindo essa região em duas regiões. Nós temos a região da esquerda
e a região da direita. Então nessa primeira região vou colorir um pouco mais forte de amarelo para todo o intervalo de x e parece que x se estende entre zero e 1, porque quando x é igual a 1,
essa função aqui é igual a 1 e quando x é igual a 1,
essa função também é igual a 1. Esse é o ponto (1,1), é onde ela se interceptam. Então para essa seção, essa sub-região bem aqui, y é igual à raiz quadrada de x,
é a função superior o tempo todo. Então para essa área aqui ao lado nós podemos resolver calculado separadamente
a área dessa região, de x igual a 1 até x igual a 2,
onde y é igual a 2 menos x e isso aqui é a função superior. Então vamos primeiro considerar essa primeira região,
que vai ser a integral definida de x igual a zero até x igual a 1. Nossa função superior é raiz quadrada de x e então podemos subtrair nossa função inferior, que é a raiz quadrada de x menos (x² sobre 4) menos 1. Então vamos escrever aqui. E é claro, também temos o nosso dx. Então isso bem aqui está descrevendo a área amarela e você pode imaginar que essa parte bem aqui,
a diferença entre essas duas funções, está essencialmente descrevendo esta altura. Deixe-me trocar a cor. Então, essencialmente, é essa altura aqui e quando multiplica por dx,
você obtém um pequeno retângulo de largura dx e quando você faz isso para cada x,
para cada x você obtém um retângulo diferente, então você soma todos eles e toma o limite
quando a sua mudança em x se aproxima de zero. Você obtém retângulos ultra estreitos.
Você tem um número infinito deles. Essa é a definição da integral de Riemann,
ou do que é uma integral definida. Então essa é a área da região à esquerda, e usando a mesma lógica
podemos calcular a área da região à direita. Então a região direita, como vemos aqui, na região direita nós vamos de x igual a 1
para x igual a 2. Deixe-me escrever aqui 1 e 2. Então a função superior é 2 menos x e assim nós vamos subtrair a função inferior,
que é (x² sobre 4) menos 1. Então vamos escrever aqui. Agora nós temos apenas que calcular,
então primeiro vamos simplificar isso aqui. Isso vai ser igual à integral definida de zero a 1
da raiz quadrada de x menos (x² sobre 4) mais 1 dx (deixe-me escrever apenas de uma cor) mais a integral definida de 1 a 2
de 2 menos x menos (x² sobre 4). Então subtraindo o -1 resulta em 3 positivo, ou seja, 1 positivo que podemos somar com 2
e isso resulta em 3. E ainda temos o nosso dx. Agora temos apenas que tomar a anti derivada
e calculá-la em 1 e zero. A anti derivada disso é... Isso daqui é x elevado a ½ e somado com 1, somado a potência de 1
temos x elevado a (3/2). Então multiplicando pelo inverso do novo expoente,
que é 2/3, vezes x elevado a 3/2 menos... A antiderivada de (x² sobre 4) é x³, dividido por 3 dividido por 4,
que é dividido por 12, mais x, que é a antiderivada de 1. Nós vamos calcular isso em 1 e zero. E assim a antiderivada aqui vai ser
3x menos (x²/2) menos (x³/12). Mais uma vez calcule isso, ou melhor,
agora vamos calcular em 2 e 1. Aqui você calcula tudo isso em um,
então você obtém (2/3) menos (1/12) mais 1. Então você subtrai isso calculando em zero,
mas tudo isso é apenas zero, então você não tem nada. Isso é o que a parte amarela resultou. Aqui nessa segunda parte, nessa parte roxa, primeiro você a calcula em 2, então você obtém 6 menos... Vamos ver, 2² sobre 2 é 2, menos 8/12, então você vai subtrair isso daqui calculado em 1. Será 3 vezes 1, que é 3,
menos ½ menos 1/12. Basicamente, agora ficamos com a soma de uma porção de frações, então vamos fazer isso. 12 parece ser o denominador comum mais evidente, então aqui você vai ter
8/12 menos 1/12 mais 12/12 e isso vai resultar em 19/12,
a parte que temos em amarelo. E nessa segunda parte (deixe-me mudar a caneta) temos 6 menos 2, isso vai ser 4, podemos escrever isso como 48/12,
que é 4, menos 8/12 e assim você vai ter que subtrair 3,
que é 36/12. Então vamos somar ½, que é 6/12,
e você vai somar 1/12 e tudo isso pode ser simplificado para 48 menos 8 é 40, menos 36 é 4, mais 6 é 10, mais 1 é 11. Então nós temos aqui mais 11/12. Deixe-me conferir se fiz tudo certo. 48 menos 8 é 40, menos 36 é 4, 10 e 11.
Parece certo. Estamos prontos para somar essas duas coisas. 19 mais 11 é igual a 30/12,
ou se quiser simplificar um pouco, podemos dividir o numerador e o denominador por 6. Então isso é igual a 5/2, ou 2 ½. E terminamos.
Calculamos a área de toda essa região. Ela é igual a 2 ½.