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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 8
Lição 4: Cálculo da área entre curvas expressas como funções de x- Área entre uma curva e o eixo x.
- Área entre uma curva e o eixo x: área negativa
- Área entre uma curva e o eixo x.
- Área entre curvas
- Exemplo resolvido: área entre curvas
- Área entre duas curvas dados os pontos finais
- Área entre duas curvas
- Área composta entre curvas
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Área entre uma curva e o eixo x: área negativa
Com integrais, pode ser útil apresentar a ideia de "área negativa". Veja por quê! Versão original criada por Sal Khan.
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- Eu também gosto de interpretar as áreas negativas lembrando das somas de Riemann, pois a área resultante é a soma das áreas de infinitos retângulos: já que a área de um desses retângulos é f(x)*dx, no caso em que a região está abaixo do eixo x, f(x)<0, portanto o resultado do produto (e, consequentemente, da área) é menor que zero. É uma interpretação razoável né? :)(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA10MP – O que vamos interpretar
neste gráfico é a área sobre a curva
e o que ela representa. Quando fazemos a integral,
esta função é “y” igual a cos “x”
e fazemos a integral… Vamos colocar primeiro
a integral indefinida de cos “x” dx. E sabemos que a derivada
de sen “x” / dx é igual a cos “x”.
Portanto, a integral de cos “x” dx vai ser sen “x” mais uma constante “c”. E por que esta constante “c”?
Esta constante é porque várias derivadas são cos “x”. Porque se você derivar sen “x”
mais a derivada de uma constante, essa derivada dá zero. Portanto, a derivada de sen “x”
mais qualquer constante, π sobre 2, 3π sobre 2 vai dar cos “x”
sem a constante. Quando integramos,
nós somamos a constante. Agora, se quisermos integrar
de zero até π sobre 2, vamos fazer a integral
de zero até π sobre 2 de cos “x” dx. E, obviamente, sen “x”
mais uma constante variando no intervalo
entre zero e π sobre 2, o que somamos na constante
vamos subtrair a constante também porque esta derivada
nesse intervalo vai ser sen π/2 menos, mais uma constante,
menos sen de zero. Menos a mesma constante. Você soma
a constante, subtrai a constante, ou seja, ela não vai
interferir no resultado. Esta área será
sen π sobre 2 é 1 e sen de zero é zero,
portanto, esta área vale 1. Vamos colocar em outra cor.
Esta área vale 1. Colocar uma cor diferente.
Esta área vale 1. Agora, vamos analisar esta
área entre o intervalo de π sobre 2 e… π sobre 2
mais π sobre 2 dá 2π sobre 2, mais π sobre 2,
dá 3π sobre 2. Ou seja, vamos integrar
de π sobre 2 até 3π sobre 2 o nosso cos “x” dx. Isso vai ser
sen 3π sobre 2 menos sen π sobre 2. E qual é o sen 3π sobre 2? Temos nosso círculo
trigonométrico, aqui temos π sobre 2, temos π,
temos 3π sobre 2. Como o seno está no eixo “y”,
aqui vai ser -1, então vai dar -1 e sen π sobre 2,
que é este ponto, vai ser 1, portanto, -1 menos 1,
que vai ser -2. Ou seja, esta área vale 2. Ela vale 2… Uma área não
é negativa, ela vale 2. Mas o que significa dizer
que ela vale, nesse caso, -2? Significa apenas que ela
está abaixo do eixo “x”. Esta parte que está acima
do eixo “x” vale +1. Esta parte que está
abaixo do eixo “x”, de π sobre 2 até 3π sobre 2, vale -2. E qual seria a integral de zero até 3π sobre 2 de cos “x” dx? Ou seja, a integral
deste ponto até este ponto. Isso seria sen 3π sobre 2 menos sen de zero. O sen 3π sobre 2 é -1,
menos zero, isso dá -1. O que significa este -1?
Temos 1 como área positiva, temos 2 como área negativa
que está abaixo do eixo “x”, portanto, 1 menos 2 vai dar -1. Então podemos até prever qual
seria a área total de zero até 2π. Esta área vale 1, esta área
vale 2 abaixo do eixo “x” e esta área, por simetria,
vai valer também 1 acima, ou seja, é de se prever
que aqui vai dar zero. Senão vejamos,
a integral de zero até 2π de cos “x” dx vai ser sen 2π menos sen de zero, e isso vai ser zero menos zero,
que vai ser igual a zero. Portanto, vimos que a área
abaixo do eixo “x” damos um valor negativo,
enquanto que a área acima do eixo “x” damos um valor positivo.
Portanto, quando integrarmos um valor positivo significa que a área
acima é maior do que a área abaixo. Se integrarmos e obtivermos
um valor negativo significa que a área abaixo do eixo “x”
é maior do que a área acima do eixo “x”.