Área entre uma curva e o eixo x.

Então temos a função, f de x igual a x quadrado. E o que queremos é achar a área abaixo da curva, y igual a f de x, então aqui está o eixo y. Esse é o meu eixo x. Então vamos desenhar a função. Nossa função se parece com isso. Pelo menos, no primeiro quadrante. É onde vamos analisar. Eu também poderia, claro, reproduzí-la no segundo quadrante. Mas o que nos importa é a área abaixo dessa curva e acima do eixo x positivo, entre x igual a um e x igual a quatro. E estou cansado de aproximar áreas. Eu quero achar a área exata abaixo da curva e acima do eixo x. E e jeito que denotamos a área exata abaixo da curva, essa área marrom, é usando a integral definida. A integral definida de um até quatro de f de x, dx. De acordo com o meu conceito sobre de onde essa notação vem, é que imaginamos um número infinito de retângulos infinitamente finos que nós somamos para achar a área. Vamos desenhar um desses retângulos, talvez não tão fino. Então, vamos desenhar assim. Então, esse seria um dos retângulos, esse seria outro. Isso é parecido com a Soma de Reimann. Na verdade, é daí que vem o intervalo de Reimann. Imagine uma soma de Reiman com infinitos números desses retângulos, onde a largura de cada um dos retângulos-- é assim que eu vejo-- é dx, e a altura desse retângulo é a função calculada para um x que está dentro desse intervalo aqui. E assim, essa parte aqui é a área de um dos retângulos, e estávamos somando todos eles. E essa espécie de um S alongado, parecido com um sigma para somatório. Estamos somando o infinito número desses infinitos retângulos finos, ou a área deles entre um e quatro. É daí que vem a notação da integral definida. Mas ainda não fizemos nada. Só escrevemos uma notação que diz que a área exata entre um e quatro, abaixo da curva f de x, e acima do eixo x. Para realmente fazermos algo produtivo com isso, teremos que voltar para o segundo teorema fundamental do Cálculo, as vezes chamado de a parte 2 do teorema fundamental do Cálculo. Que nos diz que, se f tem uma antiderivada, então se temos a antiderivada de f, então f de x é derivável, derivável de alguma função F de x, ou outro jeito de dizer isso é, F de x é a antiderivada, antiderivada de f de x. Então posso calcular isso, e fizemos um vídeo só para entender conceitualmente porque isso faz sentido. Poderíamos calcular isso, calculando a antiderivada de f, ou uma antiderivada de f, em quatro. E disso, subtrair a antiderivada calculada em um. Vamos fazer isso para esse caso aqui. Vou apenas reescrever esta afirmação. Ao invés de escrever f de x, vou escrever x ao quadrado. Então, a integral definida de um a quatro de x ao quadrado dx. Bom, só vamos precisar descobrir qual é a antiderivada. Se f de x é igual a x quadrado, qual é a F de x? Qual é a antiderivada? Bom, se você se lembrar da regra da potência, que se você pegar a derivada x ao cubo em relação a x, você vai ter três x ao quadrado, o que é bem perto de x ao quadrado, exceto por essa constante três. Então, vamos dividir os dois lados por três. Vamos dividir os dois lados, e teremos que a derivada de x ao cubo dividido por três é, de fato, x ao quadrado. Ou, pode-se dizer que é a mesma coisa que a derivada em relação a x, de x ao cubo. Considere essa derivada. Vai ser três vezes um terço. E quando descer o expoente, vai ser só x ao quadrado. Então, isso é, de novo, x ao quadrado. Isso é igual a x ao quadrado. Então, nesse caso, nossa F de x, ou antiderivada, é x ao cubo dividido por três. E então é só calcular isso para quatro e um, e as vezes o jeito que, a notação que usaríamos é, dizemos que a antiderivada é x ao cubo sobre três, e vamos calcular isso.-- Eu prefiro escrever os números aqui em cima do lado,-- em quatro e subtraído em um. As vezes as pessoas fazem uma linha aqui também para dizer que, vamos calcular em quatro e então em um. Mas faremos simplesmente sem a linha. Se vamos calcular isso em quatro e depois subtrair isso calculado em um, isso será igual a quatro ao cubo, vai ser sessenta e quatro sobre três. Vou colorir isso. Isso aqui, é isso ali, e dali, vamos subtrair essa parcela calculada em um. Bom, quando você calcula em um, tem-se um ao cubo sobre três. Temos um terço. Então só pra esclarecer, isso é isso aqui. E então podemos subtrair essas frações. Sessenta e quatro sobre três, menos um terço, é igual a sessenta e três sobre três. E três cabe perfeitamente em sessenta e três vinte e uma vezes. Então, independente da unidade, a área marrom é igual a vinte e uma unidades quadradas. [Legendado por: Luís Eduardo] [Revisado por: Rosana Cabral]