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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 8
Lição 4: Cálculo da área entre curvas expressas como funções de x- Área entre uma curva e o eixo x.
- Área entre uma curva e o eixo x: área negativa
- Área entre uma curva e o eixo x.
- Área entre curvas
- Exemplo resolvido: área entre curvas
- Área entre duas curvas dados os pontos finais
- Área entre duas curvas
- Área composta entre curvas
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Área entre uma curva e o eixo x.
Com base no teorema fundamental do cálculo, podemos usar as primitivas para calcular integrais. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA4JL - E aí, pessoal!
Tudo bem? Vamos dizer que eu tenha
uma função f(x) igual a x² e tenha um plano
cartesiano. Então, x e y. Eu quero saber qual é
a área entre essa curva e a parte de cima do eixo x,
de x igual a 1 até x igual a 4. Nós já fizemos bastante exercícios onde achamos
essa área aproximada utilizando retângulos, mas nessa aula eu quero
saber essa área exata. Para fazer isso, nós utilizamos
uma integral de 1 até 4 de f(x) dx. Por que utilizamos isso? Simples: nós calculamos a soma das áreas
de infinitos retângulos que colocamos aqui, ou seja, retângulos com larguras
bem pequenas, infinitesimais. Isso é parecido com a soma
de Riemann que vimos. A diferença é que as larguras desses retângulos são tão
pequenas, mas tão pequenas, que podemos chamar de dx. A altura desse retângulo é a função calculada
para um x dentro desse intervalo, ou seja, o intervalo da base. Basicamente. essa é
a área de um retângulo e nós estamos somando esses
infinitos retângulos de 1 até 4. Quando estamos somando coisas bem
pequenas, podemos utilizar a integral. Mas até agora nós não calculamos
nada, só escrevermos essa notação, que é a área exata de 1 até 4 entre
essa curva e a parte de cima do eixo x. Como podemos
calcular essa área? Simples: podemos utilizar o teorema
fundamental do cálculo nessa integral. Mas o que isso significa? Isso se refere à antiderivada. Basicamente, nós podemos dizer que f
é a derivada de uma função F(x), ou então podemos dizer que F(x)
é a antiderivada de f(x). Então eu posso achar
a área calculando isso aqui. E claro, aqui na Khan Academy tem
um vídeo a respeito de integrais. Se você não viu, eu sugiro
que dê uma revisada. Para calcular essa área, nós podemos
utilizar o teorema fundamental do cálculo, que é a mesma coisa
que calcular a antiderivada avaliando em 4 menos a
antiderivada avaliando em 1. Então vamos fazer isso
para essa função, ou seja, calcular a integral
de 1 até 4 de x² dx. Quanto isso vai dar? A primeira coisa que temos que fazer
é descobrir a antiderivada de x², ou seja, se f(x) é igual a x²,
qual é a antiderivada? Se lembrarmos da regra da potência, nós vamos ter que a derivada de uma
função em relação a x de x³ é igual 3x². Isso é quase x², não é? A diferença
é que tem essa constante aqui. E para obter x², eu posso dividir ambos
os membros dessa igualdade por 3. Com isso eu vou cancelar
esse 3 e esse aqui também e ficar com a derivada em relação a x
de (x³ sobre 3), que é igual a x². Ou seja, essa é a derivada
e essa é a antiderivada, é a função que nós derivamos
para encontrar essa resposta. Então, a antiderivada de x²
é igual a (x³ sobre 3). Agora calculamos em 4
e subtraímos calculando em 1. Em alguns casos,
nós utilizamos essa notação: colocamos aqui (x³ sobre 3)
e avaliamos em 4 e em 1. Às vezes até utilizamos uma barra aqui,
mas nessa aula eu vou utilizar essa notação. Então, avaliando de 1 até 4 nós vamos
ter 4³, que dá 64, dividido por 3, ou seja, isso aqui é isso, e
subtraímos isso avaliando em 1. Então 1³ vai dar 1, que
dividido por 3 vai dar ⅓, lembrando que esse ⅓
é isso aqui. Se esse resolvermos isso,
vamos repetir o denominador e subtrair os numeradores,
ficando com 63/3. E claro, eu coloquei isso aqui porque eu não conheço
a unidade da área que está sendo trabalhada. Se eu quiser dividir 63 por 3, isso
vai ser igual a 21 unidades de área. Eu espero que essa aula tenha
ajudado e até a próxima, pessoal!