Área entre uma curva e o eixo x.

RKA4JL - E aí, pessoal! Tudo bem? Vamos dizer que eu tenha uma função f(x) igual a x² e tenha um plano cartesiano. Então, x e y. Eu quero saber qual é a área entre essa curva e a parte de cima do eixo x, de x igual a 1 até x igual a 4. Nós já fizemos bastante exercícios onde achamos essa área aproximada utilizando retângulos, mas nessa aula eu quero saber essa área exata. Para fazer isso, nós utilizamos uma integral de 1 até 4 de f(x) dx. Por que utilizamos isso? Simples: nós calculamos a soma das áreas de infinitos retângulos que colocamos aqui, ou seja, retângulos com larguras bem pequenas, infinitesimais. Isso é parecido com a soma de Riemann que vimos. A diferença é que as larguras desses retângulos são tão pequenas, mas tão pequenas, que podemos chamar de dx. A altura desse retângulo é a função calculada para um x dentro desse intervalo, ou seja, o intervalo da base. Basicamente. essa é a área de um retângulo e nós estamos somando esses infinitos retângulos de 1 até 4. Quando estamos somando coisas bem pequenas, podemos utilizar a integral. Mas até agora nós não calculamos nada, só escrevermos essa notação, que é a área exata de 1 até 4 entre essa curva e a parte de cima do eixo x. Como podemos calcular essa área? Simples: podemos utilizar o teorema fundamental do cálculo nessa integral. Mas o que isso significa? Isso se refere à antiderivada. Basicamente, nós podemos dizer que f é a derivada de uma função F(x), ou então podemos dizer que F(x) é a antiderivada de f(x). Então eu posso achar a área calculando isso aqui. E claro, aqui na Khan Academy tem um vídeo a respeito de integrais. Se você não viu, eu sugiro que dê uma revisada. Para calcular essa área, nós podemos utilizar o teorema fundamental do cálculo, que é a mesma coisa que calcular a antiderivada avaliando em 4 menos a antiderivada avaliando em 1. Então vamos fazer isso para essa função, ou seja, calcular a integral de 1 até 4 de x² dx. Quanto isso vai dar? A primeira coisa que temos que fazer é descobrir a antiderivada de x², ou seja, se f(x) é igual a x², qual é a antiderivada? Se lembrarmos da regra da potência, nós vamos ter que a derivada de uma função em relação a x de x³ é igual 3x². Isso é quase x², não é? A diferença é que tem essa constante aqui. E para obter x², eu posso dividir ambos os membros dessa igualdade por 3. Com isso eu vou cancelar esse 3 e esse aqui também e ficar com a derivada em relação a x de (x³ sobre 3), que é igual a x². Ou seja, essa é a derivada e essa é a antiderivada, é a função que nós derivamos para encontrar essa resposta. Então, a antiderivada de x² é igual a (x³ sobre 3). Agora calculamos em 4 e subtraímos calculando em 1. Em alguns casos, nós utilizamos essa notação: colocamos aqui (x³ sobre 3) e avaliamos em 4 e em 1. Às vezes até utilizamos uma barra aqui, mas nessa aula eu vou utilizar essa notação. Então, avaliando de 1 até 4 nós vamos ter 4³, que dá 64, dividido por 3, ou seja, isso aqui é isso, e subtraímos isso avaliando em 1. Então 1³ vai dar 1, que dividido por 3 vai dar ⅓, lembrando que esse ⅓ é isso aqui. Se esse resolvermos isso, vamos repetir o denominador e subtrair os numeradores, ficando com 63/3. E claro, eu coloquei isso aqui porque eu não conheço a unidade da área que está sendo trabalhada. Se eu quiser dividir 63 por 3, isso vai ser igual a 21 unidades de área. Eu espero que essa aula tenha ajudado e até a próxima, pessoal!