Então temos a função, f de x
igual a x quadrado. E o que queremos é achar
a área abaixo da curva, y igual a f de x,
então aqui está o eixo y. Esse é o meu eixo x. Então vamos desenhar a função. Nossa função se parece com isso. Pelo menos, no primeiro quadrante. É onde vamos analisar. Eu também poderia, claro,
reproduzí-la no segundo quadrante. Mas o que nos importa é a área abaixo
dessa curva e acima do eixo x positivo, entre x igual a um
e x igual a quatro. E estou cansado de aproximar áreas. Eu quero achar a área exata
abaixo da curva e acima do eixo x. E e jeito que denotamos a área exata abaixo da curva, essa área marrom,
é usando a integral definida. A integral definida de um até quatro
de f de x, dx. De acordo com o meu conceito sobre de onde essa notação vem,
é que imaginamos um número infinito de
retângulos infinitamente finos que nós somamos para achar a área. Vamos desenhar um desses retângulos,
talvez não tão fino. Então, vamos desenhar assim. Então, esse seria um dos retângulos,
esse seria outro. Isso é parecido com a
Soma de Reimann. Na verdade, é daí que vem
o intervalo de Reimann. Imagine uma soma de Reiman
com infinitos números desses retângulos, onde a largura
de cada um dos retângulos-- é assim que eu vejo-- é dx, e a altura
desse retângulo é a função calculada para um x que
está dentro desse intervalo aqui. E assim, essa parte aqui
é a área de um dos retângulos, e estávamos somando todos eles. E essa espécie de um S alongado,
parecido com um sigma para somatório. Estamos somando o infinito número
desses infinitos retângulos finos, ou a área deles entre
um e quatro. É daí que vem a notação da
integral definida. Mas ainda não fizemos nada.
Só escrevemos uma notação que diz que a área exata entre um e quatro,
abaixo da curva f de x, e acima do eixo x. Para realmente fazermos algo
produtivo com isso, teremos que voltar para o segundo teorema
fundamental do Cálculo, as vezes chamado de a parte 2
do teorema fundamental do Cálculo. Que nos diz que, se f tem
uma antiderivada, então se temos a antiderivada de f, então
f de x é derivável, derivável de alguma função F de x,
ou outro jeito de dizer isso é, F de x é a antiderivada, antiderivada de f de x. Então posso calcular isso, e fizemos um vídeo só para entender
conceitualmente porque isso faz sentido. Poderíamos calcular isso,
calculando a antiderivada de f, ou uma antiderivada de f, em quatro. E disso, subtrair a antiderivada
calculada em um. Vamos fazer isso para
esse caso aqui. Vou apenas reescrever
esta afirmação. Ao invés de escrever f de x,
vou escrever x ao quadrado. Então, a integral definida de um a quatro
de x ao quadrado dx. Bom, só vamos precisar descobrir
qual é a antiderivada. Se f de x é igual a x quadrado,
qual é a F de x? Qual é a antiderivada? Bom, se você se lembrar
da regra da potência, que se você pegar a derivada x ao cubo
em relação a x, você vai ter três x ao quadrado,
o que é bem perto de x ao quadrado, exceto
por essa constante três. Então, vamos dividir
os dois lados por três. Vamos dividir os dois lados,
e teremos que a derivada de x ao cubo dividido por três
é, de fato, x ao quadrado. Ou, pode-se dizer que é a mesma coisa que
a derivada em relação a x, de x ao cubo. Considere essa derivada.
Vai ser três vezes um terço. E quando descer o expoente,
vai ser só x ao quadrado. Então, isso é, de novo,
x ao quadrado. Isso é igual a x ao quadrado. Então, nesse caso, nossa F de x,
ou antiderivada, é x ao cubo dividido por três. E então é só calcular isso
para quatro e um, e as vezes o jeito que, a notação que usaríamos é,
dizemos que a antiderivada é x ao cubo sobre três, e vamos calcular
isso.-- Eu prefiro escrever os números aqui em cima do lado,--
em quatro e subtraído em um. As vezes as pessoas fazem uma linha
aqui também para dizer que, vamos calcular em quatro e então em um. Mas faremos simplesmente sem a linha. Se vamos calcular isso em quatro e depois subtrair isso calculado em um, isso será igual a quatro ao cubo,
vai ser sessenta e quatro sobre três. Vou colorir isso. Isso aqui, é isso ali, e dali, vamos subtrair essa parcela calculada em um. Bom, quando você calcula em um,
tem-se um ao cubo sobre três. Temos um terço. Então só pra esclarecer,
isso é isso aqui. E então podemos subtrair essas frações. Sessenta e quatro sobre três,
menos um terço, é igual a sessenta e três sobre três. E três cabe perfeitamente em
sessenta e três vinte e uma vezes. Então, independente da unidade,
a área marrom é igual a vinte e uma unidades quadradas. [Legendado por: Luís Eduardo]
[Revisado por: Rosana Cabral]