Área entre uma curva e o eixo 𝘺

Oi e aí pessoal tudo bem nessa aula nós vamos estudar a área entre uma curva e o eixo Y tanto que essa curva é uma parte dessa função para valores positivos com valores para x positivos e o interessante dessa aula é que nós não queremos mais calcular a área entre essa curva e o eixo X então os limites não são valores de x mas sim valores de Y ou seja o limite inferior é y = e o limite superior é y = é elevado a 3 então eu sugiro que você pause o vídeo e tente determinar essa área vamos lá então uma maneira de pensar nisso é utilizar integrais definidas Como já fizemos em vídeos anteriores quando calculamos a área entre a curva e o eixo X mas dessa vez as já estão trocadas agora estamos preocupados com o eixo Y e por causa disso nós temos que reescrever essa função isolando o x ou seja vai ser uma função do x em função do Y e como podemos fazer isso simples nós podemos multiplicar ambos os membros dessa equação portx ficando com x y = 15 e se dividirmos Ramos os membros da equação por y vamos ficar com X = 15 sobre y você também poderia notar que y e x são inversamente proporcionais bastante apenas já escrever desse jeito né mas começou aqui pode nos ajudar basta pensarmos na ideia diária Como podemos estimar essa área nós podemos utilizar vários retângulos pequenos ou seja um retângulo aqui o outro retângulo aqui outro aqui e assim passar por Tom sim mas qual é a área de cada um desses retângulos a base ou seja a largura vai ser x mas nós podemos expressar isso como uma função de y e claro sabemos que isso vai acontecer ao longo de 15 sobre y E qual vai ser a altura Observe que aqui nós temos uma mudança bem pequena em Y portanto essa altura vai ser de Y e para calcular a área desse retângulo nós devemos multiplicar a base pela altura ou seja 15 sobre y xdy porque é uma área bem pequena mas para descobrir a área de isso tudo nós temos que somar a área de todos esses pequenos retângulos e como podemos fazer isso aplicando a integral de y = é até Y = é elevado a 3 então a integral de e até elevado a 3 de 15 sobre y d y tudo isso que fizemos Aqui nós já estamos acostumados mas trabalhando com x ou seja aqui seria 15 sobre x e teríamos um DX aqui OK mas vamos resolver isso ou seja nós temos que calcular a integral dessa função e avaliar nesse intervalo então isso aqui vai ser igual a anti derivada de 15 sobre y que é a mesma coisa que 15 vezes o logaritmo natural do módulo de y e devemos avaliar isso no intervalo de até é elevado a 3 ou seja só aplicar O Teorema Fundamental do Cálculo né Então vamos ficar com 15 vezes l e n do módulo de elevado ao cubo menos 15 vezes l n do módulo de é e será que podemos simplificar isso É né mas poderíamos jogar esse três para frente do logaritmo ficando com l e n do módulo de air que vai dar um ficando com 11 X3 que vai dar três e Eliene do módulo de é vai ser igual a 1 e com isso vamos ter 15 vezes 3 - 15 x 1 = 30 unidades de área e eu espero que essa aula tenha te ajudado e até a próxima pessoal