Volume com cortes transversais: quadrados e retângulos (sem gráfico)

RKA2MP - Nesta aula, nós vamos calcular volumes com cortes transversais. E para isso, nós temos o seguinte aqui: A base de um sólido é a região delimitada pelos gráficos y = -x² + 6x - 1 e y = 4. Seções transversais do sólido perpendiculares ao eixo "x" são retângulos cuja altura é "x". Expresse o volume do sólido com uma integral definida. Eu sugiro que você pause o vídeo e tente resolver isso sozinho. Vamos lá: o interessante aqui nesta questão é que nós temos somente as funções, mas não temos os gráficos. E, para entender isso melhor, o ideal é ter uma visualização geométrica. Isso vai nos ajudar a entender melhor qual é esta região delimitada. E a primeira coisa a se fazer é pensar onde essas duas funções se interceptam. Ou seja, quando isto é igual a 4. Então, -x² + 6x - 1 = 4 vai nos dar valores de "x" no qual essas duas coisas são iguais. E aí, resolvendo para "x", nós podemos subtrair ambos os lados desta equação por -4, ficando com -x² + 6x - 5 = 0. Agora nós podemos multiplicar ambos os membros desta equação por -1, ficando com x² - 6x + 5 = 0. E, se fatorarmos esta expressão, vamos ficar com (x - 1) que multiplica (x - 5), isto igual a zero. E veja bem: quando duas coisas estão se multiplicando e o resultado está dando zero, uma delas tem que ser zero. Então, ou x - 1 = 0, o que vai nos dar que "x" tem que ser igual a 1, ou x - 5 tem que ser igual a zero, o que vai nos dar que "x" é igual a 5. Com isso, essas duas curvas vão se interceptar em x = 1 e x = 5. Note que tem um sinal negativo aqui, antes do x², o que nos diz que essa parábola tem concavidade para baixo. Portanto, a reta y = 4 vai tocar a parábola em dois pontos: em x = 1 e x = 5. E o vértice dessa parábola vai estar aqui no meio dessas duas raízes, ou seja, no meio de x = 1 e x = 5, o que significa que vai tocar aqui em x = 3. Ok, deixe-me desenhar isto de forma tridimensional para ficar mais claro de ver essa região. Este aqui vai ser o eixo "y", este o eixo "x". Deixe-me colocar aqui alguns valores para o "y". 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. y = 4 está aqui. E sabemos que esta parábola intercepta y = 4 em x = 1 e x = 5. Então, vou colocar aqui. 1, 2, 3, 4 e 5. Então, em x = 1, o ponto vai estar aqui e, quando o "x" é igual a 5, "y" vai ser igual a 4. E sabemos que o "x" do vértice é 3. Então, quando "x" vale 3, "y" vai estar mais ou menos aqui. E claro, você pode saber exatamente qual é este ponto. Basta substituir o x = 3 nesta função e aí vamos ter que "y" é igual a -x², ou seja, -3², que vai dar -9, mais 6 vezes 3, que vai ser igual a 18, menos 1, que ser igual a 8. Ou seja, quando "x" é igual a 3, "y" é igual a 8. E aí vamos ficar com algo mais ou menos assim. E esta aqui é a região de que estamos falando. Ou seja, a região delimitada por esta função e esta aqui. Esta região vai ser a base do nosso sólido. O exercício diz que as seções transversais do sólido perpendiculares ao eixo "x" são retângulos cuja altura é "x". Ou seja, esta é uma seção transversal perpendicular ao eixo "x". Então, esta seção é um retângulo que tem uma altura "x". E qual é a largura desse retângulo? Vai ser a diferença entre essas duas funções. Ou seja, vai ser a função superior menos a função inferior. Ou seja, a base desse retângulo vai ser -x² + 6x - 1 - 4, que pode ser simplificada como: -x² + 6x - 5. Completando aqui a seção, se nós quisermos descobrir o volume, precisamos colocar uma certa profundidade. Ou seja, nós pegamos isto aqui e multiplicamos por uma pequena diferença na profundidade, que podemos chamar de dx. E como aqui temos várias seções, para descobrir o volume do sólido, nós podemos integrar em relação a "x" de 1 até 5. Então, o volume desta pequena fatia, deste pequeno paralelepípedo, vai ser esta base, que é -x² + 6x - 5, -x² + 6x - 5 vezes a altura, que é "x", vezes a profundidade, que é dx. E claro, este é um paralelepípedo. Pode ter outro, por exemplo, aqui. Um pouco maior, quem sabe, mais ou menos deste jeito. Por causa disso, nós devemos integrar esta multiplicação. E, claro, isso vai de x = 1 até x = 5. Então, os limites de integração vão ser 1 e 5. Pronto! Conseguimos expressar o volume do sólido como uma integral definida. E claro, você ainda pode aplicar a distributiva aqui, ficando com algo mais simplificado e que é bem fácil de se aplicar a integral porque se trata de um polinômio. Eu espero que esta aula tenha te ajudado e até a próxima, pessoal!