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Volume com seções transversais perpendiculares ao eixo y

Exemplo resolvido expressando o volume de uma imagem com base nas seções transversais perpendiculares ao eixo y como uma integral definida (integração em relação a y).

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Transcrição de vídeo

RKA2MP - E aí, pessoal, tudo bem? Nesta aula, nós vamos calcular volume com seções transversais perpendiculares ao eixo "y". Para isso, nós temos o seguinte aqui: Seja R a região delimitada por y = 4 vezes a raiz quadrada de 9 - x e os eixos no primeiro quadrante. Ou seja, esta região aqui, a região R, é a base de um sólido. Para cada valor de "y", a seção transversal do sólido obtido perpendicular ao eixo "y" é um retângulo cuja base encontra-se em R e cuja altura é "y". Expresse o volume do sólido com uma integral definida. Eu sugiro que você pause o vídeo e tente resolver isso sozinho. Vamos resolver juntos, então. A primeira coisa que eu vou fazer é olhar para esta região. Vou tentar fazer um desenho tridimensional dela. Aqui eu tenho o eixo "y", aqui o eixo "x" e a região R é mais ou menos esta aqui. Note que o exercício diz que a seção transversal do sólido obtido perpendicular ao eixo "y" é um retângulo. Ou seja, aqui vai ser perpendicular ao eixo "y". E claro, isto aqui é "x". Na verdade, seria um "x" que corresponde a este valor específico. E a altura desse retângulo é "y". Então, aqui o "y". E aí vamos ter um retângulo. Mas, se quisermos calcular o volume, nós vamos ter que dar um pouco de dimensão a esse retângulo, transformando-o em um paralelepípedo. Mas claro, essa profundidade é bem pequena. É algo infinitesimal em termos de "y". É tão pequena que podemos chamar de dy. E claro, aqui é a altura do retângulo. E você pode fazer outras seções transversais. Por exemplo, eu posso fazer uma aqui com uma altura menor de "y" e aqui nós vamos ter a base "x", que é mais ou menos esta parte aqui da curva. E aí, o retângulo vai ser mais ou menos assim. Mas, de novo, se queremos calcular volume, temos que dar uma profundidade a esse retângulo, transformando-o em um paralelepípedo. Você pode fazer isso até calcular todo o volume do sólido. E como podemos calcular o volume dessas seções? Uma forma de fazer isso é utilizando a integral que vai ser a soma de todas as seções transversais. E claro, você pode integrar em relação a "x" ou integrar em relação a "y". Mas, neste caso específico, é mais fácil integrar em relação a "y" porque nós temos um dy aqui. Então, o volume deste pequeno paralelepípedo vai ser "y" vezes "x" vezes dy. E, se queremos integrar em relação a "y", temos que colocar todos os termos em função de "y". E você pode fazer isso reescrevendo esta função, ou seja, temos que colocar o "x" como uma função de "y". A primeira coisa é dividir ambos os membros desta equação por 4, ficando com y/4 igual à raiz quadrada de 9 - x. Elevando ambos os membros da equação ao quadrado, vamos ficar com y²/16 = 9 - x. Ainda podemos multiplicar ambos os membros da equação por -1, ficando com -y²/16 = x - 9. Por fim, se somarmos 9 a ambos os membros desta equação, vamos ficar com 9 - y²/16 = x. E podemos substituir isso aqui no lugar deste "x". E aí, outra forma de expressar esse volume vai ser: "y" que multiplica 9 menos y²/16, vezes dy. Claro, isto é o volume desta seção transversal. Mas, e se quisermos encontrar o volume de toda a figura? Ou seja, o sólido que vai ser mais ou menos assim? Simples: basta integrar isto aqui de zero até 12. Então, o intervalo de integração é de zero a 12. Ou seja, este é o volume do sólido, que foi o que o exercício queria. E você ainda pode aplicar a distributiva aqui, ou resolver esta integral com uma calculadora. Enfim, só vamos até onde o exercício pediu mesmo. Eu espero que esta aula tenha te ajudado e até a próxima, pessoal!