If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal
Tempo atual:0:00Duração total:8:17

Transcrição de vídeo

aqui nós temos um gráfico que representa a função x mais y igual a um vamos dizer que a área que abaixo dessa curva representa base de uma figura tridimensional ou seja nós temos um triângulo bidimensional que corresponde a base de uma figura tridimensional vamos supor que a gente pegue um ponto aqui no xis e trace uma reta vertical uma reta que seja paralela o eixo y e que depois a gente ligasse esses dois pontos o ponto que sai dessa curva até esse outro ponto aqui no eixo x se a gente ligar se esse ponto no terceiro eixo a gente teria a formação de um semicírculo e se a gente fizesse isso em todos os pontos ao longo dessa curva a gente teria diversos semicírculos e aí a gente teria uma figura tridimensional conforme essa outra imagem aqui essa imagem a gente está observando de um certo ângulo que dá para observar figura tridimensional e eu coloquei o eixo x desse lado eo eixo y desse outro lado essa reta que eu tracei aqui corresponde a essa outra reta que em que ligando esses dois pontos nós vamos ter esses m círculo então ligando isso a gente vai ter essa seção transversal aqui que corresponde a esse semicírculo se por acaso a gente pegasse aqui uma outra região uma reta que por exemplo nesse eixo y a gente teria essa outra seção transversal aqui formando esse outro semicírculo você pode observar que a gente começou a formar uma figura tridimensional aqui com certo volume certo então vou pedir agora que você pause esse vídeo e tente a partir dessas informações encontrar o volume dessa figura que a gente começou a traçar ok conseguiu fazer conseguiu determinar o volume dessa figura um bom caminho para começar a fazer isso é observar diversos semicírculos ou seja diversos discos ao longo dessa figura e aí se você pegar cada um desses discos elevar o limite tendendo a zero você vai ter um valor exato do volume de cada um desses discos então pra fazer isso vamos fazer uma pequena aproximação aqui uma boa animação vamos pegar esse disco aqui essa reta vai corresponder a um diâmetro de um disco que corresponde a essa parte que esses dois pontos uma forma de expressar esse diâmetro é reescrevendo essa função aqui então a gente poderia colocar isso aqui da seguinte forma e y sendo igual a um menu xixi ou seja nós temos uma função de x em que y é igual essa função de x e que isso indica para a gente as coordenadas desse ponto então se nós quisermos saber o diâmetro em cada ponto xis aqui basta utilizar essa função então vamos supor que aqui nós temos um ponto xis em que essa reta que o sigilo diâmetro do disco vai ser a função ou o menu x para determinar agora a área desse semicírculo basta lembrar como determina a área de uma circunferência a área de uma circunferência é igual à pierre é o quadrado como nós temos metade de uma circunferência basta dividir isso por dois assim a gente vai ter pierre é o quadrado / 2 mas a minha pergunta pra você agora é quanto que vale um raio desse semicírculo então eu redesenhei essas m circunferência em cima ea minha pergunta como eu disse é quanto que vale o raio dessa série c conferência desses m5 se você levar em consideração que esse ponto é o ponto central dessa circunferência em que tudo isso daqui é o diâmetro ohio dessa circunferência vai ser metade desse diâmetro como o diâmetro é igual a um menu x o raio vai ser igual a um menu x dividido por dois então nós temos metade do diâmetro aqui o menu x sobre dois nós temos metade do diâmetro aqui o menu x sobre dois em metade do diâmetro aqui o menu x sobre dois então esse raio corresponde à metade do diâmetro que a gente pode até colocar essa informação aqui o raio vai ser igual à metade do diâmetro como diâmetro é o menu x nós vamos ter o menu x 1 / 2 e aí a minha pergunta agora é essa daqui como que podemos determinar a área desse semicírculo a área desse semicírculo metade da área de uma circunferência como a área de uma circunferência igual à pierre ao quadrado a gente vai ter pr ao quadrado / 2 que a metade da área de uma circunferência e claro a gente pode colocar essa área em função de x então nós vamos ter essa área em função de x sendo igual ap sobre dois vizinhos o raio elevada ao quadrado como raio é igual à metade do diâmetro ou seja um menu x sobre dois coloca que o homem no x / 2 e levado ao quadrado então essa função corresponde à área de um semicírculo em cada ponto xis aqui ao longo dessa curva é claro que esse disco que tem um pequeno volume certo seja se quiser saber esse pequeno volume basta multiplicar a área desse semicírculo pela profundidade desse disco então vou chamar essa profundidade aqui chamo tac desenhar desse jeito que a gente tem uma profundidade eu vou chamar essa profundidade de delta x assim para determinar o volume desse disco basta multiplicar essa área com essa profundidade delta x então o volume do pequeno disco vai ser igual a área que epe sobre 2 vezes um belo xis sobre dois elevada ao quadrado vezes essa profundidade delta x agora caso você queira determinar o volume de toda essa figura basta somar todos os volumes desses pequenos discos e quando a gente faz um somatório de todos esses pequenos discos com o delta x tendendo a zero a gente tem o caso de uma integral já que é integral corresponde ao somatório de pequenos elementos ou seja de todos os elementos com o delta x tendendo a zero quando essa profundidade é infinitamente pequena então vamos lá para determinar isso o volume agora basta calcular a integral com os limites de integração indo de 0 a 10 o ponto inicial e um é o ponto em que a curva vai interceptar com 10 aqui do eixo y então nós temos uma integral definida indo de 0 a 1 da nossa função do volume aqui que corresponde à pis sobre 2 vezes um menu x ao quadrado dividido por dois a gente já pode abrir isso daqui a gente vai ter um x ao quadrado - 2 x + 1 / 2 elevada ao quadrado e do elevado ao quadrado é 4 neste disco é o nosso diferencial de x ou seja o limite para o delta x tem 60 elementos infinitamente pequenos como pi sobre dois é uma constante 14 também a gente já pode jogar essas constantes para fora da integral então nós vamos ter um volume sendo igual a duas vezes 48 então vamos ter a equipe subiu 8 vezes a integral de 0 a 1 de x ao quadrado - 2 x mais um de x resolvendo essa integral como é uma função por nome nal é muito fácil a gente vai ter aqui x ao cubo sobre 36 no x ao quadrado mais x então o volume dessa figura vai ser igual ap sobre oito vezes x ao cubo sobre três membros x ao quadrado mais x com os limites aqui de integração e de 0 a 1 tão isso mais igual ap sobre oito existe quando a gente fizer aqui com um agente vai ter um ao cubo que é um sobre 3 - 1 ao quadrado que é um mais um - um mais um é zero então vai sobrar apenas um sobre três - isso tudo com 10 no lugar do x 0 o clube dividido com 300 quadrado é zero e 0 é o próprio 0 então quando a gente fizer que com 10 a gente não vai ter nada que como resultado na verdade a gente vai ter zero então seria um sobre 3 - 0 que é igual a 1 sobre três então o volume dessa figura formada vai ser igual ao módulo dipp sobre oito vezes três que é 24 então conseguimos determinar o volume formado por essa figura
AP® é uma marca comercial registrada da College Board, que não revisou este recurso.