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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 8
Lição 9: Volume com método do disco: revolucionando em torno do eixo x ou yMétodo do disco ao redor do eixo y
Cálculo do volume de uma figura rotacionada ao redor do eixo y usando o método do disco. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA1JV - Aqui nós temos o gráfico, ou pelo menos parte
do gráfico de "y = x²". E o que eu quero aqui, neste vídeo, é determinar o volume de
um outro sólido de revolução. Só que agora, em vez de rotacionar
ao redor do eixo "x", eu vou rotacionar ao redor do eixo "y". Agora, a gente não vai observar
valores determinados em "x", mas sim valores determinados em "y" e valores que vão variar
de "y = 1" até "y = 4". Vamos desenhar aqui. A gente pode fazer um corte,
como se tivesse um corte aqui no "y = 1". Aqui dá para visualizar esse corte, certo? O que a gente pode fazer aqui? A gente pode pegar esse gráfico bem aqui, eu vou usar essa curva. E em vez de rotacionar ao redor de "x",
como fizemos no último vídeo, a gente vai rotacionar ao redor de "y". Assim, nós vamos rotacioná-lo
dessa forma aqui. E qual vai ser a forma
que nós vamos obter? Deixe-me ver se consigo visualizar isso. A base vai se parecer com algo desse tipo, se viermos através dele
e isso aqui em cima, parte de cima disso vai se parecer
com algo mais ou menos dessa forma. E o que nos importa que é
a parte que está no interior dele, não a parte inferior. Deixe-me sombrear um pouco isso aqui para ele se parecer com algo dessa forma. Da mesma forma que
a gente fez antes, vamos desenhar isso separadamente para que a gente possa visualizar melhor. Eu vou fazer o desenho
em ângulos diferentes, só para melhorar a visualização. Se eu fosse desenhar o eixo "y" saindo da parte de trás, ele iria se parecer com algo desse tipo. E ele vai ser cortado desse jeito aqui, então, vai ser parecer, não sei como
podemos chamar essa forma. Mas eu acho que você está conseguindo visualizar a forma que está saindo daqui. A visualização aqui, provavelmente,
é a parte mais difícil, mas podemos perceber que
não é tão difícil também. Ele vai se parecer dessa forma, talvez se pareça com uma trufa, uma trufa de cabeça para baixo. Vamos desenhar o eixo "y"
só para entender orientação, eixo "y" está saindo aqui nesse exemplo. Vai para baixo e aqui o eixo "x"
será desenhado desse jeito aqui. Eu apenas inclinei o eixo para que
a gente consiga visualizar essa figura de um outro ponto de vista,
de um outro ângulo. Esse topo da direita
é esse topo da direita aqui. Isso consegue te dar uma ideia
de como essa figura se parece. Mas apesar de toda essa visualização, ainda não conseguimos
responder à nossa pergunta: qual é o volume dessa figura? Como podemos encontrar
o volume dessa figura? Diferentemente do que a gente fez antes, que foi criar discos com
profundidades pequenas de dx, que tal agora a gente criar discos com
profundidade medida em dy? É legal pensar nisso um pouco. Vamos construir um pequeno
disco em um certo valor "y". E esse valor em "y", que nós
vamos construir o disco, tem o mesmo raio da forma nesse ponto. Esse é o nosso disco, esse disco tem uma profundidade, ou seja, uma pequena espessura. Só que em vez de termos
uma espessura em dx, a gente vai ter uma espessura em dy. Essa aqui é a nossa espessura em dy. A minha pergunta para você agora é essa: qual vai ser o volume desse
disco em termos de "y"? Eu acho que você já começou a perceber que nós vamos fazer uma integral definida não em relação a "x",
mas sim em relação a "y", Então, qual vai ser o volume dessa figura? Como nós já fizemos no último vídeo, nós temos que descobrir qual vai ser
a área da face de cada um desses discos. Para encontrar a área da face de um disco que é uma circunferência, basta simplesmente multiplicar π por r². E descobrindo o raio, neste ponto, nós conseguimos determinar
a área desse disco, pelo menos a área da face desse disco. Então, qual é o raio nesse ponto? Para pensar no raio em termos de "y", nós precisamos resolver essa equação
e colocar em função de "y". Em vez de dizer que "y" é igual a x², a gente pode calcular a raiz
quadrada dos dois lados. E assim dizer que a raiz quadrada de "y"
é igual a "x". Isso é definido apenas para
os valores "y" que não são negativos, mas isso é ótimo. Porque nós estamos observando apenas
aqui o lado positivo de "y". Nós temos uma curva no primeiro quadrante, ou seja, onde "x" é positivo. Assim podemos chamar essa função aqui
de "x" igual à raiz quadrada de "y". Agora, podemos expressar
esse gráfico, essa curva como "x" sendo uma função de "y". Fazendo isso, qual será
o raio da face desse disco? O nosso raio aqui será f(y), ou seja, será a raiz quadrada de "y",
que é uma função de "y". Eu não quero que você confunda
esse f(y) com esse f(x), isso é um f(y). Seria até melhor chamar isso aqui de g(y), para não confundir com f(x). E esse g(y) seria a raiz quadrada de "y", assim, a área formada por esse disco
vai ser igual π vezes r². Isso significa que a área vai
ser igual a π vezes o nosso raio que é a raiz quadrada de "y",
e isso elevado ao quadrado. Assim, isso vai ficar apenas
igual a π vezes "y". Agora que já sabemos
a área da face desse disco, nós podemos calcular o volume do disco. Para calcular o volume do disco, basta multiplicar a área
da face desse disco com a espessura do disco, ou seja, dy. Assim o volume de cada um desses discos será igual a π vezes "y", vezes dy. Isso é o volume do disco, o volume de cada um dos discos. Agora, se a gente quer
o volume de tudo isso, temos que somar todos esses discos. Para todos os valores indo de
"y" igual a 1 até "y" igual a 4. Vamos fazer isso. Para calcular isso, basta
determinar a integral definida entre "y" igual a 1 e "y" igual a 4. Só um pequeno lembrete. A integral definida é um tipo
bem especial de soma, estamos somando todas essas coisas. Mas estamos usando o limite daquela soma onde esses "dy" vão ficando
cada vez menores. Assim a gente vai ter uma quantidade
cada vez maior desses discos. Conforme esses "dy" ficam
infinitamente pequenos, temos um número infinito desses discos. Então, a nossa soma não somente
se aproxima do volume, ele realmente expressa
o volume dessa figura no limite com esse "dy" indo para zero. Vamos lá, para calcular
o volume de tudo isso, temos somente que calcular essa
integral definida em termos de "y". E como nós podemos fazer isso? Qual vai ser o resultado disso? Podemos colocar o π para fora da integral, afinal de contas, o π é uma constante. Isso vezes a antiderivada de "y" que é somente y² sobre 2,
calculado de 1 a 4. Isso vai ser igual a π vezes, calculando isso aqui em 4, teremos 16 dividido por 2, mas deixe-me escrever de uma outra forma. A gente vai ter 4² sobre 2,
menos 1² sobre 2. Agora a gente pode calcular isso aqui. 4² é 16,
16 dividido por 2 é 8, menos 1², que é 1,
sobre 2. Isso vai ser igual a 15 dividido por 2π , 15 dividido por 2 é igual a 7,5,
para deixar isso aqui mais claro. Então, isso seria igual a 7,5 vezes π. Finalmente, terminamos. Encontramos o volume
ao rotacionar essa curva em relação ao eixo "y", algo que é bem legal de fazer.