Método do disco ao redor do eixo x

RKA7MP - Vemos aqui a parte de um gráfico de "y" que é igual a x². E o que nós estamos querendo fazer é usar o poder das integrais definidas para determinar volumes ao invés de apenas áreas. É bom relembrar que quando calculamos uma integral definida regular só tomamos a integral definida entre dois pontos. Por exemplo, a integral definida, digamos, de zero a 2, de x² dx. Mas o que isto representa? Vamos olhar os limites. Nós temos um "x" igual a zero, bem aqui, e neste outro ponto, vamos dizer que seja "x" igual a 2. A ideia do limite nos diz que o que nós podemos fazer é encontrar um pequeno valor em torno de cada um destes "x". Assim, quando nós encontrarmos este pequeno valor, nós vamos multiplicar pela função que é x². Quando nós fazemos isto, ou seja, multiplicamos esta pequena largura pela altura, que é igual a x², nós estamos calculando a área deste pequeno retângulo. E isto é, literalmente, uma integral. A soma de todos estes retângulos, que vai entre zero a 2, no limite onde este dx é muito pequeno, ou seja, algo que seja infinitamente pequeno mas que não seja igual a zero, sendo assim, nós vamos somar todos estes retângulos para todos estes "x", entre "x" igual a zero e "x" igual a 2, isto no limite onde dx vai ficar cada vez menor. Sendo assim, nós vamos ter dx infinitamente pequeno. Assim, a gente vai ter um número infinito deles. E é devido a isto que nós podemos ver o poder da integral definida. Você pode, inclusive, imaginar que como este dx vai ficando cada vez menor, estes retângulos vão ficando cada vez mais estreitos, e, com isso, nós vamos ter uma melhor aproximação da área abaixo desta curva. Aí, quando chegarmos ao limite deste dx tendendo a zero, nós vamos ter a área abaixo desta curva. Agora, nós vamos aplicar a mesma ideia, não para encontrar apenas a área, mas sim para encontrar o volume da figura formada caso a gente faça uma rotação com esta curva em torno deste eixo "x". Para melhorar um pouco a nossa capacidade de visualização, vamos ver o que acontece quando a gente girar, ou seja, rotacionar esta função aqui em torno deste eixo "x". Vamos ver, vamos olhar a partir da direita. Nós teremos uma base parecida com isto, eu vou fazer o meu melhor para tentar desenhar. A gente vai ter uma base parecida com esta, e o resto será a função no intervalo entre zero e 2. Vai ficar algo mais ou menos parecido com um chapéu muito esquisito. Deixe-me sombrear um pouco para dar uma clareza melhor de como é a figura. O que nós queremos é nos preocupar com o volume total desta figura. Deixe-me redesenhar isto a partir de diferentes ângulos. Vamos fazer um outro ângulo de visualização. Nós podemos desenhar a partir do topo, e ele vai se parecer um pouco com isto. Assim, vai ficar um pouco mais óbvio, até que esta figura se parece, de fato, com um chapéu apontado para cima e vindo aqui para baixo, deste jeito. Neste ângulo, não estamos vendo o fundo. Só para nos orientarmos, os eixos vão ficar desta forma. Este sendo o eixo "y", na horizontal, e este sendo o eixo "x", que passa aqui por dentro e aparece do outro lado. Se a gente fosse fazer uma figura transparente, a gente poderia ver do outro lado. Seria mais ou menos assim, o eixo "x" vai passar através disto, vai furar a base aqui e continuar desta forma até chegar do outro lado. Esta é a mesma figura mas com um outro ponto de vista, ou seja, vista de outro ângulo diferente. Vamos pensar, agora, sobre como podemos calcular o volume desta figura. Ao invés de pensarmos apenas em termos de área de cada um destes retângulos, o que vai acontecer se rotacionarmos cada um destes retângulos em torno do eixo "x"? Vamos fazer isso. Vamos pegar cada um deles, por exemplo, vamos dizer que nós temos um dx bem aqui, e que a gente vai rotacionar isto em torno do eixo "x". Vamos fazer isto rotacionando em torno do eixo "x" Nós vamos ter algo parecido com uma moeda, ou disco. Aqui, nós vamos ter o disco, que vai se parecer com isto, com uma espessura dx. Como podemos calcular o volume deste disco? Deixe-me redesenhar aqui também. É muito importante visualizar estas formas direito. Este é o eixo "x" e o disco ficará deste jeito. Aqui está o eixo "x", de fora para dentro, e esta será a superfície do disco. Esta pequena região será a espessura dx. Está até legal isto, vou sombrear um pouco mais por dentro para dar uma sensação maior de profundidade. A pergunta agora é: Como podemos encontrar o volume disto? Multiplicando a face deste disco, ou seja, a área desta face, pela espessura do disco que, neste caso, vai ser dx. Outra pergunta interessante também a se fazer é: qual vai ser a área desta base? Sabemos que a área de uma circunferência é igual a π (Pi) vezes r². Sabendo disto, qual vai ser o raio desta face? O raio é somente a altura deste retângulo original. E para qualquer "x", a altura bem aqui será igual a f(x), que, neste caso, é igual a x². O raio será x². Sendo assim, para cada 1x, a área desta face será igual a π vezes (x²)². Agora que nós já sabemos a área desta face, como vai ficar o volume? Como podemos determinar o volume deste disco? O volume vai ser esta área vezes esta espessura. Vai ser isto aqui vezes dx. O volume será a área vezes esta espessura aqui. E esta espessura é igual a dx. Assim, a gente vai ter a área vezes dx, que é igual a π vezes (x²)², já que o raio é x², e este raio tem que ser elevado ao quadrado. Assim, nós vamos ter π vezes x⁴, vezes dx. Esta expressão é que vai nos dar um volume de cada um destes discos. Mas como nós queremos o volume de tudo isto, de todo este chapéu ou desta corneta, ou de algo parecido com esta figura, como podemos fazer isso? Usando exatamente a mesma técnica. O que acontece se a gente somar todas estas coisas? Ou seja, se a gente somar cada um destes discos. Vamos somar todos estes π vezes x⁴, indo de "x" igual a zero até "x" igual a 2, já que estes são os limites que nós definimos anteriormente. Na verdade, a gente poderia ter feito isto para qualquer intervalo de "x", Mas a gente definiu o "x" indo de zero a 2. Somando os volumes de todas estas moedas no limite em que estas espessuras ficam cada vez menores, nós vamos ter o volume total do chapéu, ou do cone, corneta ou do que você quiser chamar. Para calcular isto, basta a gente utilizar a ideia de integral definida. Assim, nós vamos ter o volume. Vamos ver se a gente consegue fazer isso. Pause este vídeo agora e tente calcular sozinho. Para fazer isto, nós podemos jogar para fora o π, já que o π é uma constante, e a gente vai ter π vezes a integral indo de zero a 2 de x⁴. Para calcular esta integral definida, inicialmente, a gente precisa saber a antiderivada de x⁴. A antiderivada de x⁴ vai ser igual a x⁵ sobre 5. Assim, isto vai ser π vezes x⁵ sobre 5, indo de zero a 2. Isto vai ficar igual a π vezes esta coisa calculada em 2, assim, a gente vai ter 2⁵ sobre 5, menos esta coisa aqui calculada em zero. A gente vai ter zero elevado a 5 sobre 5. 2⁵ é igual a 32. A gente vai ter algo igual a π vezes 32 sobre 5, menos, zero elevado a 5 é zero, dividido por 5 é zero, então, vai ser menos zero, ou seja, a integral definida de π vezes x⁴ indo de zero a 2, vai ser igual a 32 π sobre 5. E isto vai ser o volume desta figura doida que nós estamos observando.