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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 5
Lição 1: Como usar o teorema do valor médio- Teorema do valor médio
- Exemplo do teorema do valor médio: polinômio
- Exemplo do teorema do valor médio: função de raiz quadrada
- Como usar o teorema do valor médio
- Justificativa com o teorema do valor médio: tabela
- Justificativa com o teorema do valor médio: equação
- Estabelecer a derivabilidade para o TL
- Justificativa com o teorema do valor médio
- Aplicação do teorema do valor médio
- Revisão sobre o teorema do valor médio
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Estabelecer a derivabilidade para o TL
Uma função deve ser derivável para que o teorema do valor médio seja válido. Saiba o porquê desta condição e como verificar se o teorema pode ser aplicado no contexto de um problema.
O teorema do valor médio (TL) é um teorema da existência semelhante aos teoremas do valor intermediário e de Weierstrass (TVI e TW). Nosso objetivo é compreender o teorema do valor médio e saber como aplicá-lo.
TL e suas condições
O teorema do valor médio garante que, para uma função f derivável em um intervalo de a a b, existe um número c neste intervalo, de maneira que f, prime, left parenthesis, c, right parenthesis é igual à taxa de variação média da função neste intervalo.
Graficamente, o teorema garante que um arco entre duas extremidades tem um ponto no qual a reta tangente ao arco é paralela à reta secante que passa por suas extremidades.
As condições precisas sob as quais o TL se aplica são aquelas nas quais f é derivável no intervalo aberto left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis e contínua no intervalo fechado open bracket, a, comma, b, close bracket. Como derivabilidade implica continuidade, também podemos descrever a condição como sendo derivável em left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis e contínua em x, equals, a e x, equals, b.
Usar parâmetros como a e b e falar sobre intervalos abertos e fechados é importante se quisermos ser matematicamente precisos, mas estas condições fundamentalmente significam que:
Para o TL ser válido, a função deve ser derivável no intervalo relevante e contínua nas extremidades do intervalo.
Por que a derivabilidade no intervalo é importante.
Para entender por que esta condição é importante, considere a função f. A função tem uma quina entre x, equals, a e x, equals, b, portanto ela não é derivável em left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis.
De fato, a função tem apenas duas retas tangentes possíveis e nenhuma delas é paralela à reta secante entre x, equals, a e x, equals, b.
Por que a continuidade nas extremidades é importante.
Para entender isso, considere a função g.
Se g for derivável em left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis e contínua em x, equals, a e x, equals, b, então o TL será válido.
Agora, vamos alterar g de maneira que ela não seja mais contínua em x, equals, b. Em outras palavras, o limite lateral limit, start subscript, x, \to, b, start superscript, minus, end superscript, end subscript, g, left parenthesis, x, right parenthesis continuará o mesmo, mas o valor da função será alterado.
Observe como todas as retas tangentes possíveis no intervalo estão necessariamente crescendo, enquanto a reta secante está decrescendo. Dessa maneira, não haverá nenhuma reta tangente paralela à reta secante.
Em geral, se uma função não for contínua em suas extremidades, a reta secante estará desconectada das retas tangentes ao longo do intervalo.
Na lista de exercícios 1, vamos analisar a aplicabilidade do teorema do valor médio à função h em diferentes intervalos.
Gostaria de praticar mais? Tente este exercício.
Observação: quando o TL não se aplica, tudo o podemos dizer é que não temos certeza se a conclusão é verdadeira. Isso não significa que a conclusão não seja realmente verdadeira.
Em outras palavras, é possível existir um ponto no qual a reta tangente é paralela à reta secante, mesmo quando o TL não se aplica. Apenas não podemos ter certeza disso, a não ser que as condições do TL sejam atendidas.
Por exemplo, no último problema, o TL não se aplicava a f no intervalo open bracket, minus, 1, comma, 5, close bracket, mesmo havendo dois pontos no intervalo open bracket, minus, 1, comma, 5, close bracket nos quais a reta tangente era paralela à reta secante entre as extremidades.
Precisa praticar mais? Tente este exercício.
Erro comum: não perceber que as condições foram satisfeitas
Vamos pegar o problema 3 como exemplo. Podemos esperar que as condições para o TL sejam comumente apresentadas assim:
- h é derivável em left parenthesis, 3, comma, 7, right parenthesis e contínua em open bracket, 3, comma, 7, close bracket.
- h é derivável em left parenthesis, 3, comma, 7, right parenthesis e contínua em x, equals, 3 e x, equals, 7.
No entanto, nem sempre as informações sobre a função serão dadas desta maneira. Por exemplo, se h for derivável em open bracket, 3, comma, 7, close bracket, as condições serão satisfeitas, pois derivabilidade implica continuidade.
Outro exemplo é quando h é derivável em um intervalo maior, por exemplo left parenthesis, 2, comma, 8, right parenthesis. Embora a continuidade não tenha sido mencionada, a derivabilidade em left parenthesis, 2, comma, 8, right parenthesis implica derivabilidade em left parenthesis, 3, comma, 7, right parenthesis e continuidade em open bracket, 3, comma, 7, close bracket.
Erro comum: aplicar o teorema da existência errado
Até o momento, estamos familiarizados com três teoremas de existência diferentes: o teorema do valor intermediário (TVI), o teorema de Weierstrass (TW) e o Teorema do valor médio (TL). Eles têm uma estrutura similar, mas são aplicados sob condições diferentes e garantem diferentes tipos de pontos.
- O TVI garante um ponto no qual a função tem um determinado valor entre dois valores dados.
- O TW garante um ponto no qual a função obtém um valor máximo ou mínimo.
- O TL garante um ponto no qual a derivada tem um determinado valor.
Antes de aplicar um dos teoremas de existência, verifique se você compreendeu suficientemente o problema para saber qual teorema deve ser aplicado.
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