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Estabelecer a derivabilidade para o TL

Uma função deve ser derivável para que o teorema do valor médio seja válido. Saiba o porquê desta condição e como verificar se o teorema pode ser aplicado no contexto de um problema.
O teorema do valor médio (TL) é um teorema da existência semelhante aos teoremas do valor intermediário e de Weierstrass (TVI e TW). Nosso objetivo é compreender o teorema do valor médio e saber como aplicá-lo.

TL e suas condições

O teorema do valor médio garante que, para uma função f derivável em um intervalo de a a b, existe um número c neste intervalo, de maneira que f(c) é igual à taxa de variação média da função neste intervalo.
f(c)=f(b)f(a)ba
Graficamente, o teorema garante que um arco entre duas extremidades tem um ponto no qual a reta tangente ao arco é paralela à reta secante que passa por suas extremidades.
Uma função está representada graficamente. O eixo x positivo não está marcado. O gráfico é uma curva. A curva começa em um círculo fechado na origem, se move para cima até um pico, se move ligeiramente para baixo e termina em um círculo fechado no quadrante 1. Uma reta secante conecta os pontos finais da curva. Uma reta tangente é traçada paralela à reta secante, e toca a curva em algum ponto entre as extremidades.
As condições precisas sob as quais o TL se aplica são aquelas nas quais f é derivável no intervalo aberto (a,b) e contínua no intervalo fechado [a,b]. Como derivabilidade implica continuidade, também podemos descrever a condição como sendo derivável em (a,b) e contínua em x=a e x=b.
Usar parâmetros como a e b e falar sobre intervalos abertos e fechados é importante se quisermos ser matematicamente precisos, mas estas condições fundamentalmente significam que:
Para o TL ser válido, a função deve ser derivável no intervalo relevante e contínua nas extremidades do intervalo.

Por que a derivabilidade no intervalo é importante.

Para entender por que esta condição é importante, considere a função f. A função tem uma quina entre x=a e x=b, portanto ela não é derivável em (a,b).
A função f está representada graficamente. O eixo x positivo inclui os valores a e b, da esquerda para a direita. O gráfico é um conjunto de segmentos de reta. O conjunto começa em um círculo fechado sobre x = a, se move para cima até uma quina, se move para baixo e termina em um círculo fechado em x = b, mais alto que o ponto inicial.
De fato, a função tem apenas duas retas tangentes possíveis e nenhuma delas é paralela à reta secante entre x=a e x=b.
O gráfico da função f tem duas retas tangentes e uma reta secante. A tangente A começa no quadrante 3, se move para cima ao longo do segmento de reta voltado para cima e termina no quadrante 1. A tangente B começa no quadrante 1, se move para baixo ao longo do segmento de reta voltado para baixo e termina no quadrante 1. Uma reta secante conecta as extremidades dos segmentos de reta.

Por que a continuidade nas extremidades é importante.

Para entender isso, considere a função g.
A função g está representada graficamente. O eixo x positivo inclui os valores a e b, da esquerda para a direita. O gráfico é uma curva. A curva começa em um círculo fechado acima de x = a, move-se para cima com inclinação crescente e termina em um círculo fechado em x = b.
Se g for derivável em (a,b) e contínua em x=a e x=b, então o TL será válido.
O gráfico da função g tem uma reta tangente e uma reta secante. A reta tangente começa no quadrante 4, move-se para cima, toca a curva e termina no quadrante 1. A linha secante conecta as extremidades da curva.
Agora, vamos alterar g de maneira que ela não seja mais contínua em x=b. Em outras palavras, o limite lateral limxbg(x) continuará o mesmo, mas o valor da função será alterado.
A função g está representada graficamente. O eixo x positivo inclui os valores a e b, da esquerda para a direita. O gráfico é uma curva. A curva começa em um círculo fechado acima de x = a, se move para cima com inclinação crescente e termina em um círculo aberto em x = b. Um ponto fechado é plotado em x = b, abaixo do ponto de partida em x = a. Uma reta secante conecta os 2 círculos fechados.
Observe como todas as retas tangentes possíveis no intervalo estão necessariamente crescendo, enquanto a reta secante está decrescendo. Dessa maneira, não haverá nenhuma reta tangente paralela à reta secante.
Em geral, se uma função não for contínua em suas extremidades, a reta secante estará desconectada das retas tangentes ao longo do intervalo.
Na lista de exercícios 1, vamos analisar a aplicabilidade do teorema do valor médio à função h em diferentes intervalos.
Problema 1.A
A função h está representada graficamente. O eixo x vai de 8 negativo até 8. O gráfico consiste em uma curva e um conjunto de segmentos de reta. A curva começa no quadrante 1, move-se para baixo, move-se verticalmente passando por (6 negativo, 3) e termina em um círculo fechado em (3 negativo, 3 negativo). O conjunto começa em um círculo aberto em (3 negativo, 5 negativo), move-se para cima até uma quina em (6, 4), move-se para baixo e termina em (8, 2).
O TL se aplica a h no intervalo [5,1]?
Escolha 1 resposta:

Problema 2
O gráfico da função f tem uma tangente vertical em x=2.
O TL se aplica a f no intervalo [1,5]?
Escolha 1 resposta:

Gostaria de praticar mais? Tente este exercício.
Observação: quando o TL não se aplica, tudo o podemos dizer é que não temos certeza se a conclusão é verdadeira. Isso não significa que a conclusão não seja realmente verdadeira.
Em outras palavras, é possível existir um ponto no qual a reta tangente é paralela à reta secante, mesmo quando o TL não se aplica. Apenas não podemos ter certeza disso, a não ser que as condições do TL sejam atendidas.
Por exemplo, no último problema, o TL não se aplicava a f no intervalo [1,5], mesmo havendo dois pontos no intervalo [1,5] nos quais a reta tangente era paralela à reta secante entre as extremidades.
A função f está representada graficamente. O eixo x vai de 2 negativo até 8. O gráfico consiste em uma curva. A curva começa no quadrante 3, move-se para baixo até o ponto (1 negativo, 3 negativo), move-se para cima, move-se na vertical e passa por (2, 0), continua até o ponto (5, 3), move-se para baixo e termina em (8, 0). Duas retas tangentes paralelas começam no quadrante 3, movem-se para cima e terminam no quadrante 1. A reta tangente superior toca a curva em aproximadamente (2,8; 2,2). A reta tangente inferior toca a curva em aproximadamente (1,2; -2,2). Uma reta secante conecta os pontos (1 negativo, 3 negativo) e (5, 3).
Problema 3
Esta tabela nos mostra alguns valores da função h.
x371011
h(x)1526
Jaime disse que, uma vez que h(7)h(3)73=1, deve haver um número c no intervalo [3,7] para o qual h(c)=1.
Qual condição torna a afirmação de Jaime verdadeira?
Escolha 1 resposta:

Precisa praticar mais? Tente este exercício.

Erro comum: não perceber que as condições foram satisfeitas

Vamos pegar o problema 3 como exemplo. Podemos esperar que as condições para o TL sejam comumente apresentadas assim:
  • h é derivável em (3,7) e contínua em [3,7].
  • h é derivável em (3,7) e contínua em x=3 e x=7.
No entanto, nem sempre as informações sobre a função serão dadas desta maneira. Por exemplo, se h for derivável em [3,7], as condições serão satisfeitas, pois derivabilidade implica continuidade.
Outro exemplo é quando h é derivável em um intervalo maior, por exemplo (2,8). Embora a continuidade não tenha sido mencionada, a derivabilidade em (2,8) implica derivabilidade em (3,7) e continuidade em [3,7].
Problema 4
f é uma função derivável. f(1)=2 e f(5)=2.
Faça a ligação entre cada conclusão e seu teorema da existência apropriado.
1

Erro comum: aplicar o teorema da existência errado

Até o momento, estamos familiarizados com três teoremas de existência diferentes: o teorema do valor intermediário (TVI), o teorema de Weierstrass (TW) e o Teorema do valor médio (TL). Eles têm uma estrutura similar, mas são aplicados sob condições diferentes e garantem diferentes tipos de pontos.
  • O TVI garante um ponto no qual a função tem um determinado valor entre dois valores dados.
  • O TW garante um ponto no qual a função obtém um valor máximo ou mínimo.
  • O TL garante um ponto no qual a derivada tem um determinado valor.
Antes de aplicar um dos teoremas de existência, verifique se você compreendeu suficientemente o problema para saber qual teorema deve ser aplicado.

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