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Cálculo Avançado AB

Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 5

Lição 1: Como usar o teorema do valor médio
Matemática
Cálculo Avançado AB
Como aplicar derivadas à análise de funções
Como usar o teorema do valor médio
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Estabelecer a derivabilidade para o TL

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Uma função deve ser derivável para que o teorema do valor médio seja válido. Saiba o porquê desta condição e como verificar se o teorema pode ser aplicado no contexto de um problema.
O teorema do valor médio (TL) é um teorema da existência semelhante aos teoremas do valor intermediário e de Weierstrass (TVI e TW). Nosso objetivo é compreender o teorema do valor médio e saber como aplicá-lo.

TL e suas condições

O teorema do valor médio garante que, para uma função f derivável em um intervalo de a a b, existe um número c neste intervalo, de maneira que f, prime, left parenthesis, c, right parenthesis é igual à taxa de variação média da função neste intervalo.
f, prime, left parenthesis, c, right parenthesis, equals, start fraction, f, left parenthesis, b, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, a, right parenthesis, divided by, b, minus, a, end fraction
Graficamente, o teorema garante que um arco entre duas extremidades tem um ponto no qual a reta tangente ao arco é paralela à reta secante que passa por suas extremidades.
Uma função está representada graficamente. O eixo x positivo não está marcado. O gráfico é uma curva. A curva começa em um círculo fechado na origem, se move para cima até um pico, se move ligeiramente para baixo e termina em um círculo fechado no quadrante 1. Uma reta secante conecta os pontos finais da curva. Uma reta tangente é traçada paralela à reta secante, e toca a curva em algum ponto entre as extremidades.
As condições precisas sob as quais o TL se aplica são aquelas nas quais f é derivável no intervalo aberto left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis e contínua no intervalo fechado open bracket, a, comma, b, close bracket. Como derivabilidade implica continuidade, também podemos descrever a condição como sendo derivável em left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis e contínua em x, equals, a e x, equals, b.
Usar parâmetros como a e b e falar sobre intervalos abertos e fechados é importante se quisermos ser matematicamente precisos, mas estas condições fundamentalmente significam que:
Para o TL ser válido, a função deve ser derivável no intervalo relevante e contínua nas extremidades do intervalo.

Por que a derivabilidade no intervalo é importante.

Para entender por que esta condição é importante, considere a função f. A função tem uma quina entre x, equals, a e x, equals, b, portanto ela não é derivável em left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis.
A função f está representada graficamente. O eixo x positivo inclui os valores a e b, da esquerda para a direita. O gráfico é um conjunto de segmentos de reta. O conjunto começa em um círculo fechado sobre x = a, se move para cima até uma quina, se move para baixo e termina em um círculo fechado em x = b, mais alto que o ponto inicial.
De fato, a função tem apenas duas retas tangentes possíveis e nenhuma delas é paralela à reta secante entre x, equals, a e x, equals, b.
O gráfico da função f tem duas retas tangentes e uma reta secante. A tangente A começa no quadrante 3, se move para cima ao longo do segmento de reta voltado para cima e termina no quadrante 1. A tangente B começa no quadrante 1, se move para baixo ao longo do segmento de reta voltado para baixo e termina no quadrante 1. Uma reta secante conecta as extremidades dos segmentos de reta.

Por que a continuidade nas extremidades é importante.

Para entender isso, considere a função g.
A função g está representada graficamente. O eixo x positivo inclui os valores a e b, da esquerda para a direita. O gráfico é uma curva. A curva começa em um círculo fechado acima de x = a, move-se para cima com inclinação crescente e termina em um círculo fechado em x = b.
Se g for derivável em left parenthesis, a, comma, b, right parenthesis e contínua em x, equals, a e x, equals, b, então o TL será válido.
O gráfico da função g tem uma reta tangente e uma reta secante. A reta tangente começa no quadrante 4, move-se para cima, toca a curva e termina no quadrante 1. A linha secante conecta as extremidades da curva.
Agora, vamos alterar g de maneira que ela não seja mais contínua em x, equals, b. Em outras palavras, o limite lateral limit, start subscript, x, \to, b, start superscript, minus, end superscript, end subscript, g, left parenthesis, x, right parenthesis continuará o mesmo, mas o valor da função será alterado.
A função g está representada graficamente. O eixo x positivo inclui os valores a e b, da esquerda para a direita. O gráfico é uma curva. A curva começa em um círculo fechado acima de x = a, se move para cima com inclinação crescente e termina em um círculo aberto em x = b. Um ponto fechado é plotado em x = b, abaixo do ponto de partida em x = a. Uma reta secante conecta os 2 círculos fechados.
Observe como todas as retas tangentes possíveis no intervalo estão necessariamente crescendo, enquanto a reta secante está decrescendo. Dessa maneira, não haverá nenhuma reta tangente paralela à reta secante.
Em geral, se uma função não for contínua em suas extremidades, a reta secante estará desconectada das retas tangentes ao longo do intervalo.
Na lista de exercícios 1, vamos analisar a aplicabilidade do teorema do valor médio à função h em diferentes intervalos.
Problema 1.A
  • Atual
A função h está representada graficamente. O eixo x vai de 8 negativo até 8. O gráfico consiste em uma curva e um conjunto de segmentos de reta. A curva começa no quadrante 1, move-se para baixo, move-se verticalmente passando por (6 negativo, 3) e termina em um círculo fechado em (3 negativo, 3 negativo). O conjunto começa em um círculo aberto em (3 negativo, 5 negativo), move-se para cima até uma quina em (6, 4), move-se para baixo e termina em (8, 2).
O TL se aplica a h no intervalo open bracket, minus, 5, comma, minus, 1, close bracket?
Escolha 1 resposta:

Problema 2
O gráfico da função f tem uma tangente vertical em x, equals, 2.
O TL se aplica a f no intervalo open bracket, minus, 1, comma, 5, close bracket?
Escolha 1 resposta:

Gostaria de praticar mais? Tente este exercício.
Observação: quando o TL não se aplica, tudo o podemos dizer é que não temos certeza se a conclusão é verdadeira. Isso não significa que a conclusão não seja realmente verdadeira.
Em outras palavras, é possível existir um ponto no qual a reta tangente é paralela à reta secante, mesmo quando o TL não se aplica. Apenas não podemos ter certeza disso, a não ser que as condições do TL sejam atendidas.
Por exemplo, no último problema, o TL não se aplicava a f no intervalo open bracket, minus, 1, comma, 5, close bracket, mesmo havendo dois pontos no intervalo open bracket, minus, 1, comma, 5, close bracket nos quais a reta tangente era paralela à reta secante entre as extremidades.
A função f está representada graficamente. O eixo x vai de 2 negativo até 8. O gráfico consiste em uma curva. A curva começa no quadrante 3, move-se para baixo até o ponto (1 negativo, 3 negativo), move-se para cima, move-se na vertical e passa por (2, 0), continua até o ponto (5, 3), move-se para baixo e termina em (8, 0). Duas retas tangentes paralelas começam no quadrante 3, movem-se para cima e terminam no quadrante 1. A reta tangente superior toca a curva em aproximadamente (2,8; 2,2). A reta tangente inferior toca a curva em aproximadamente (1,2; -2,2). Uma reta secante conecta os pontos (1 negativo, 3 negativo) e (5, 3).
Problema 3
Esta tabela nos mostra alguns valores da função h.
x371011
h, left parenthesis, x, right parenthesis15minus, 2minus, 6
Jaime disse que, uma vez que start fraction, h, left parenthesis, 7, right parenthesis, minus, h, left parenthesis, 3, right parenthesis, divided by, 7, minus, 3, end fraction, equals, 1, deve haver um número c no intervalo open bracket, 3, comma, 7, close bracket para o qual h, prime, left parenthesis, c, right parenthesis, equals, 1.
Qual condição torna a afirmação de Jaime verdadeira?
Escolha 1 resposta:

Precisa praticar mais? Tente este exercício.

Erro comum: não perceber que as condições foram satisfeitas

Vamos pegar o problema 3 como exemplo. Podemos esperar que as condições para o TL sejam comumente apresentadas assim:
  • h é derivável em left parenthesis, 3, comma, 7, right parenthesis e contínua em open bracket, 3, comma, 7, close bracket.
  • h é derivável em left parenthesis, 3, comma, 7, right parenthesis e contínua em x, equals, 3 e x, equals, 7.
No entanto, nem sempre as informações sobre a função serão dadas desta maneira. Por exemplo, se h for derivável em open bracket, 3, comma, 7, close bracket, as condições serão satisfeitas, pois derivabilidade implica continuidade.
Outro exemplo é quando h é derivável em um intervalo maior, por exemplo left parenthesis, 2, comma, 8, right parenthesis. Embora a continuidade não tenha sido mencionada, a derivabilidade em left parenthesis, 2, comma, 8, right parenthesis implica derivabilidade em left parenthesis, 3, comma, 7, right parenthesis e continuidade em open bracket, 3, comma, 7, close bracket.
Problema 4
f é uma função derivável. f, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals, minus, 2 e f, left parenthesis, 5, right parenthesis, equals, 2.
Faça a ligação entre cada conclusão e seu teorema da existência apropriado.
1

Erro comum: aplicar o teorema da existência errado

Até o momento, estamos familiarizados com três teoremas de existência diferentes: o teorema do valor intermediário (TVI), o teorema de Weierstrass (TW) e o Teorema do valor médio (TL). Eles têm uma estrutura similar, mas são aplicados sob condições diferentes e garantem diferentes tipos de pontos.
  • O TVI garante um ponto no qual a função tem um determinado valor entre dois valores dados.
  • O TW garante um ponto no qual a função obtém um valor máximo ou mínimo.
  • O TL garante um ponto no qual a derivada tem um determinado valor.
Antes de aplicar um dos teoremas de existência, verifique se você compreendeu suficientemente o problema para saber qual teorema deve ser aplicado.

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