Justificativa com o teorema do valor médio

Seja

f (x) = 2^{x} - sen (π x)

Segue abaixo a tentativa de Rafael de escrever uma justificativa formal para o fato de que a equação

f^{'} (x) = \frac{1}{4}

tem uma solução em

- 2 < x < - 1

A justificativa de Rafael está completa? Se não, por quê?

A justificativa de Rafael:
Funções exponenciais e trigonométricas são deriváveis e contínuas em todos os pontos em seu domínio, e $- 2 \leq x \leq - 1$ ‍ está dentro do domínio de $f$ ‍.
Então de acordo com o teorema do valor médio, $f^{'} (x) = \frac{1}{4}$ ‍ deve ter uma solução em algum lugar no intervalo entre $- 2 < x < - 1$ ‍.

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