Exemplo do teorema do valor médio: polinômio

vamos supor que a gente tem uma função é pedir x sendo igual à x ao quadrado menos 6 x + 8 e que eu queira encontrar um ponto se em que a derivada dessa função nesse ponto se seja igual à taxa de variação em um certo intervalo então vamos supor que a gente tem aqui um intervalo qualquer o intervalo por exemplo indo de 2 a 5 e que nós estamos querendo encontrar um ponto se que pertença a esse intervalo certo esse intervalo que vai de 2 a 5 em que a derivada dessa função nesse ponto c seja igual à taxa média de variação nesse intervalo e como que a gente consegue encontrar a taxa média de variação basta simplesmente encontrar retas e cante entre esses dois pontos e calcular a razão entre a variação da função pela variação entre esses pontos 2 e 5 como colocando aqui efe de 5 certo já que a variação da função entre esses dois pontos - f 2 / 5 -2 então essa que vai ser a taxa de variação média então é isso que nós estamos querendo encontrar a derivada dessa função nesse ponto c sendo igual à taxa de variação média dessa função ao longo desse intervalo 12 5 ok já podemos até calcular essa expressão substituído por cinco aqui e por dois nessa função efe para 5 a função quando x for igual a 5 vai ser igual a 5 ao quadrado e 5 ao quadrado e 25 melo e seis vezes 56 vezes 50 então vai ser 25 - 30 mais 8 25 - 30 mais oito é igual a 3 vamos fazer a mesma coisa agora substituindo x por dois nós vamos ter dois ao quadrado 2 ao quadrado é 44 - seis vezes dois que é 12 mais 84 - duas é menos oito mais oito igual a zero então a gente vai ter aqui em cima 3 - 0 que é igual a 3 e embaixo 5 -2 que também é igual a 3 e 3 / 3 é igual a um então esse 1 corresponde à taxa de variação média nesse intervalo de 2 a 5 para essa função vem agora o que nós queremos é calcular essa derivada certo a derivada nesse pontos e queremos encontrar então calculando que é derivada efe linha de x nós vamos te levando x ao quadrado nós temos 2 x - a derivada de 100 x que é 6 ea derivada de 80 porque é uma constante isso aqui pelo que a gente falou essa derivada tem que ser igual à taxa de variação média dentro desse intervalo certo e isso é igual a um agente já calculou isso a gente pode igualá isso daqui com um somando por seis em ambos os lados da equação a gente vai ter 2 x sendo igual a um mais seis que em igual a 7 / 2 em ambos os lados dessa equação agora a gente vai ter x sendo igual a 7 sobre dois então esse pontos e é quando x é igual ao r7 sobre dois só que agora que já encontramos o sei qual a 7 sobre dois que é o três e meio nós podemos fazer um gráfico para verificar isso então é o que nós vamos fazer agora deixa eu colocar aqui então o nosso y está o nosso y e aqui o nosso eixo x conquistar o nosso isso x como eu dividi aqui numeração aquecendo 1 2 3 e 4 e aqui cinco até que está bom até 15 aqui também deixa eu colocar um dois três até o 3 também está bom aqui nós já sabemos que o x sendo igual a dois é um ponto em que a função é igual a zero certo então que a gente vai com esse ponto aqui no x sendo igual a 2 ea função que é y eixo y sendo igual a zero pra gente ver a outra função a gente poderia simplesmente colocar essa expressão de uma outra forma isso enche seu quadrado menos 6 x + 8 é a mesma coisa que x menos 2 vezes x menos quatro agentes multiplicar se a gente vai te x ao quadrado certo - 2 x - 4 x que é menos 6 x menos 2 vezes menos quatro que é mais 8 desse jeito aqui então a gente tem aqui x - 2 quando x foi igual a 2 anula essa função e aqui quando x foi igual a 4 também anula essa função então a gente vai ter um outro ponto aqui no x sendo igual a 4 a função sendo igual a zero tem que a gente pode fazer também é substituir os x é que igual a 3 pra encontrar o ponto de inflexão aqui o ponto de mínimo nesse caso para essa função a gente poderia também substituir por três aqui nessa função para ver o que vai acontecer com ela para encontrar esse ponto y se eu substituir aqui por três gente vai ter três ao quadrado que é 99 - 18 - 18 + 8 e 10 nov - 10 é igual a menos um agente pode te colocar um pouquinho mais a gente tem aqui no 3 sendo igual ao menos 19 nesse ponto que certo outro ponto também é interessante a gente observar é quando x por igual a 5 porque a gente tem essa função aqui também do x sendo igual a 5 ea função do resultado como três anos também teria o mais ou menos por aqui certo mais ou menos nesse ponto aqui eu acho que só isso já basta para a gente conseguir montar um esboço da nossa função de agente teria algo mais ou menos assim subindo aqui afinal de contas é uma parábola mais ou menos dessa forma a gente pegando o nosso intervalo que é vindo aqui no x sendo igual a 2 até o x sendo igual a 5 agente teria essa reta se cante e para determinar essa taxa de variação média entre esses dois pontos a gente já fez isso e de um valor igual a 1 e determina a inclinação dessa reta secante aqui agora vamos supor que a gente tem aqui um ponto xis e anual a ser em que esses e aqui é 7 sobre 2007 sobre 2 e 3 meio mais ou menos aqui entre o 3 eo 4 nesse ponto a gente vai ter uma inclinação mahattan gente faz por esse ponto que se a gente traz a ela vai ser algo paralela a essa reta secante então a gente pode verificar que a inclinação dessas duas retas são iguais ou seja a taxa de variação média nesse intervalo de 2 a 5 é igual a inclinação da reta tangente ou seja da derivada para essa função nesse ponto 60 igual a 7 sobre dois