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Justificativa com o teorema do valor médio: equação

Exemplo justificando o uso do teorema do valor médio (em que a função é definida com uma equação).

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Transcrição de vídeo

RKA4JL - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo vamos resolver um exercício sobre o teorema do valor médio. Esse exercício diz o seguinte: seja g(x) igual a 1 sobre x. Podemos usar o teorema do valor médio para dizer que a equação g'(x) igual a ½ tem uma solução onde x é maior que -1 e menor que 2? Em caso afirmativo, escreva uma justificativa. OK, eu acho legal você pausar esse vídeo e tentar fazer isso sozinho ou sozinha. E então, fez? Vamos fazer juntos agora? A chave para usar o teorema do valor médio, mesmo antes de pensar em usá-lo, é você ter certeza que a função é contínua no intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto. Este intervalo é o intervalo aberto, então o intervalo fechado incluiria os pontos finais. Mas você pode perceber imediatamente que ambos os intervalos contêm x igual a zero, e se x é igual a zero, a função é indefinida. Se a função é indefinida em um ponto nesse intervalo, a função não vai ser contínua ou diferenciável nesse ponto. Então a resposta é não, porque a função apresentada não é contínua ou diferenciável ao longo do intervalo. Vamos fazer a segunda parte agora. Podemos usar o teorema do valor médio para dizer que há um valor c tal que g'(c) é igual a -½ em que c seja maior que 1 e menor que 2? Em caso afirmativo, escreva uma justificativa. Novamente pause este vídeo e tente fazer isso sozinho ou sozinha. OK, vamos fazer agora. Nessa situação entre 1 e 2, tanto na intervalo aberto quanto no intervalo fechado, temos uma função racional e uma função racional vai ser contínua e diferenciável em cada ponto de seu domínio, e seu domínio contém completamente esse intervalo aberto e fechado. Outra forma de pensar sobre isso é que cada ponto desse intervalo aqui, tanto aberto quanto fechado, está no domínio. Então podemos escrever que g(x) é uma função racional, o que nos permite saber que ela é contínua e diferenciável em cada ponto de seu domínio. O intervalo fechado entre 1 e 2 está no domínio. Agora vamos calcular a taxa de variação média entre 1 e 2. Essa taxa de variação média é igual a (g(2) - g(1)) sobre (2 menos 1), isso aqui é igual a (½ menos 1) sobre 1, que é igual a -½. Vamos continuar escrevendo aqui. Portanto, pelo teorema do valor médio, deve haver um c onde c é maior que 1 e menor que 2 e g'(c) é igual à taxa de variação média, que é igual a -½. E terminamos! Então podemos colocar um sim bem grande aqui. Essa é a nossa justificativa. Enfim, eu espero que você tenha compreendido direitinho tudo o que conversamos aqui e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!