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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 5
Lição 1: Como usar o teorema do valor médio- Teorema do valor médio
- Exemplo do teorema do valor médio: polinômio
- Exemplo do teorema do valor médio: função de raiz quadrada
- Como usar o teorema do valor médio
- Justificativa com o teorema do valor médio: tabela
- Justificativa com o teorema do valor médio: equação
- Estabelecer a derivabilidade para o TL
- Justificativa com o teorema do valor médio
- Aplicação do teorema do valor médio
- Revisão sobre o teorema do valor médio
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Justificativa com o teorema do valor médio: equação
Exemplo justificando o uso do teorema do valor médio (em que a função é definida com uma equação).
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Transcrição de vídeo
RKA4JL - Olá, meu amigo ou minha amiga!
Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda
a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo vamos resolver um exercício
sobre o teorema do valor médio. Esse exercício diz o seguinte: seja g(x) igual a 1 sobre x. Podemos usar o teorema do valor médio
para dizer que a equação g'(x) igual a ½ tem uma solução onde x
é maior que -1 e menor que 2? Em caso afirmativo, escreva uma justificativa. OK, eu acho legal você pausar esse vídeo
e tentar fazer isso sozinho ou sozinha. E então, fez? Vamos fazer juntos agora? A chave para usar o teorema do valor médio,
mesmo antes de pensar em usá-lo, é você ter certeza que a função é contínua
no intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto. Este intervalo é o intervalo aberto,
então o intervalo fechado incluiria os pontos finais. Mas você pode perceber imediatamente
que ambos os intervalos contêm x igual a zero, e se x é igual a zero,
a função é indefinida. Se a função é indefinida
em um ponto nesse intervalo, a função não vai ser contínua ou diferenciável nesse ponto. Então a resposta é não, porque a função apresentada não é contínua ou diferenciável ao longo do intervalo. Vamos fazer a segunda parte agora. Podemos usar o teorema do valor médio para dizer
que há um valor c tal que g'(c) é igual a -½ em que c seja maior que 1
e menor que 2? Em caso afirmativo, escreva uma justificativa. Novamente pause este vídeo
e tente fazer isso sozinho ou sozinha. OK, vamos fazer agora. Nessa situação entre 1 e 2, tanto na intervalo aberto quanto no intervalo fechado,
temos uma função racional e uma função racional vai ser contínua e diferenciável
em cada ponto de seu domínio, e seu domínio contém
completamente esse intervalo aberto e fechado. Outra forma de pensar sobre isso
é que cada ponto desse intervalo aqui, tanto aberto quanto fechado,
está no domínio. Então podemos escrever que g(x)
é uma função racional, o que nos permite saber que ela é contínua
e diferenciável em cada ponto de seu domínio. O intervalo fechado entre 1 e 2
está no domínio. Agora vamos calcular a taxa de variação média
entre 1 e 2. Essa taxa de variação média
é igual a (g(2) - g(1)) sobre (2 menos 1), isso aqui é igual a (½ menos 1) sobre 1, que é igual a -½. Vamos continuar escrevendo aqui. Portanto, pelo teorema do valor médio,
deve haver um c onde c é maior que 1 e menor que 2 e g'(c) é igual à taxa de variação média,
que é igual a -½. E terminamos! Então podemos colocar um sim bem grande aqui.
Essa é a nossa justificativa. Enfim, eu espero que você tenha compreendido direitinho
tudo o que conversamos aqui e mais uma vez eu quero deixar para você
um grande abraço e até a próxima!