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Transcrição de vídeo

olá tudo bem nesse vídeo nós vamos conversar um pouco a respeito do teorema do valor médio e pra gente conversar a respeito do teorema do valor médio nós precisamos levar em consideração uma função e que essa função tem algumas particularidades por exemplo nós vamos dizer que a nossa função efe é contínua em um certo intervalo então a função f1 vai ser contínua e um certo intervalo em um certo intervalo aqui que vai variar entre 2 pontos e que esses dois pontos são os pontos a e b quando eu coloco esses colchetes é que eu estou dizendo que esse é o intervalo fechado ou seja os pontos a e b fazem parte desse intervalo então a nossa função precisa ser contínuo em todo esse intervalo que vai desde a até o ponto b lembrando que a e b fazem parte do intervalo além disso essa função também precisa ser diferenciável nesse intervalo então além de ser contínuo ela vai ter que ser diferenciável nesse intervalo também que vai de até b só que agora o nosso intervalo não precisa ser fechado ou seja os pontos a e b não precisam ser diferenciáveis mas todos os outros valores dentro desse intervalo precisam então nós temos aqui que essa função vai ser diferenciado nesse intervalo que vai de a até b lembrando que para uma função ser diferenciável é necessário que a derivada dessa função seja definida dentro desse intervalo então vamos plantar um gráfico que só pra gente ter uma idéia do comportamento dessa função então aqui nós vamos ter o nosso gráfico aqui o nosso y e aqui o nosso eixo x aqui vai estar o nosso ponto em que o xis ea eac o nosso ponto em que o nosso x ab então nós temos o nosso intervalo que vai de até b aqui a gente vai ter um determinado ponto em que esse ponto que vai ter as coordenadas a e função de aconselhar o fd a e aqui nós vamos ter um outro ponto em que esse ponto que vai ter ordenadas bfd b e ao longo desse intervalo a nossa função vai ter esse comportamento então essa daqui vai ser a nossa função e y igual a fdx nem que o teorema do valor médio diz pra gente o teorema do valor médio diz pra gente que a taxa de variação média dentro desse intervalo mas ser igual à taxa de variação instantânea dessa função em algum ponto desse intervalo então analisando graficamente que se a gente fosse traçar a taxa de variação média bastaria apenas pegar a reta secante entre esses dois pontos a e b assim a gente teria que essa reta secante entre esses dois pontos a e b a inclinação dessa reta secante indica pra gente a taxa de variação média dessa função ao longo desse intervalo a e b bem o teorema do valor médio vai dizer pra gente que em algum ponto ao longo desse intervalo a gente vai ter uma reta tangente que vai ter a mesma inclinação dessa reta secante por exemplo se a gente pegar esse ponto aqui nesse ponto a gente vai ter uma reta tangente que tenha a mesma inclinação dessa reta secante então a taxa de variação instantânea nesse ponto vai ser igual a essa taxa de variação média o mesmo acontece se a gente pega esse outro ponto aqui nesse outro ponto a gente também vai ter uma reta tangente aqui que tem uma inclinação igual à reta secante que liga os pontos a e b então nós analisamos graficamente aqui o que o teorema do valor médio diz pra gente e disse pra gente que em algum ponto nesse caso que serão dois pontos a gente vai ter uma reta tangente que vai ter a mesma inclinação que a reta secante que liga os dois pontos aqui desse intervalo então vamos dizer que esse ponto que seja um ponto se um ponto se em que a inclinação da reta tangente que passa por esse ponto vai ter a mesma inclinação da reta secante que liga os pontos a e b sabendo disso nós podemos dizer que o teorema do valor médio diz pra gente que quando a gente tem uma função contínua em um certo intervalo e que nesse intervalo essa função é diferenciável vai existir ou seja existe um valor c em que esse valor ser pertence a esse intervalo a e b lembrando que nesse caso é que você não pode ser a e nem pode receber tudo bem você vai pertencer a esse intervalo que vai de juá até o bê mas é o intervalo aberto então aí o bebê não fazem parte desse intervalo isso significa que o cê é maior que a e menor que b então pode ser qualquer valor dentro desse intervalo desde que o valor seja maior que a e que seja menor que b tal que a taxa de variação média entre esses dois pontos e como é que a gente vai representar essa taxa de variação média entre esses dois pontos a gente sabe que a taxa de variação média nesse caso que vai ser a variação do eixo y então a gente pode colocar aqui um delta y sobre a variação no eixo x e qual seria a variação no eixo y e qual seria a variação no eixo x a gente encontra a avaliação é que no eixo y basta a gente saber o quanto que foi alterado aqui no eixo y desde hfa até o fbi ea gente poderia traçar por exemplo essa reta que partindo aqui desde o ponto hfa até o fb então o delta y seria na verdade é que fb efe db - f dia a essa seria a variação no eixo y delta y isso tudo aqui dividido pela variação no eixo x é a variação no eixo x é o quanto que vai ser alterado desde o ponto até o ponto b desde a coordenada até a coordenada b então nosso delta x ac vai seu bebê - ah dessa forma a gente vai ter delta y sobre delta x e isso aqui vai indicar pra gente a taxa de variação média desde o ponto a ef diá até o ponto b efe db isso aqui vai ser igual então ao que bem o teorema do valor médio diz pra gente e essa taxa de variação média vai ser igual à taxa de variação instantânea da função nesse ponto c e pra gente determinar a taxa de variação instantânea de uma função em determinado ponto basta calcular a derivada dessa função nesse ponto e aí nesse caso para se aderir wahda da função efe calculada nesse ponto se então é isso aqui que o teorema do valor médio de espera a gente que a taxa de variação média de uma função dentro de um certo intervalo que vai de a a tebe desde que essa função seja contínua nesse intervalo e diferenciável nesse intervalo vai ser igual à taxa de variação instantânea dessa função calculada nice pontos e ou seja a taxa de variação instantânea calculado em um certo ponto vai ser igual à taxa de variação média ao longo de todo o intervalo e é isso que o teorema do valor médio diz pra gente
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