Exemplo do teorema do valor médio: função de raiz quadrada

RKA3JV - Seja f(x) = √4x - 3, e seja "c" um número que satisfaça o Teorema do Valor Médio para "f" no intervalo 1 ≤ x ≤ 3. Qual é o valor de "c"? A primeira coisa que a gente tem que lembrar é que o Teorema do Valor Médio para uma função diz que a inclinação da reta tangente, em um determinado ponto dentro deste intervalo, vai ser igual à inclinação da reta secante que liga estes dois pontos. Então, podemos dizer que a derivada da função, ou seja, f' em que "x" seja igual a este valor "c" é igual à inclinação da reta secante que liga estes dois pontos. E como é que a gente consegue determinar a inclinação de uma reta? Para determinar a inclinação de uma reta basta calcular a diferença das funções avaliadas nestes dois pontos. Ou seja, f(3) - f(1) sobre a diferença entre estes dois pontos. Ou seja, sobre 3 - 1. Então, isto daqui nos dá a inclinação da reta secante que liga estes dois pontos. Isto aqui é a derivada calculada neste ponto "c" e isto é o Teorema do Valor Médio. E o que nós estamos querendo fazer neste problema é encontrar este valor "c". Vamos observar isto aqui visualmente para a gente ter uma ideia melhor. Vamos traçar, então, um gráfico. A gente tem aqui o nosso eixo "x", certo? Aqui, a gente vai colocar os pontos que vão do 1 ao 3, os pontos inteiros. Então, por exemplo, aqui o 1, aqui o 2 e aqui o 3. Agora, qual seria este primeiro ponto aqui no x = 1? Se a gente substituir aqui o "x" por 1, a gente vai ter 4 vezes 1 que é 4, menos 3 que é 1. E √1 = 1. Então, este primeiro ponto aqui vai ser no ponto (1, 1). E o segundo ponto? O segundo ponto vai ser neste x = 3. Então, a gente substitui o "x" por 3, 4 vezes 3 é 12. 12 - 3 = 9. E √9 = 3. Então, a gente tem aqui o ponto (3, 3). E aí, a gente tem o nosso gráfico mais ou menos deste jeito. Não está perfeito aqui, mas é mais ou menos deste jeito. A nossa reta secante vai vir deste ponto até este ponto. A reta secante que liga os dois pontos. Então, deixe-me traçar mais ou menos. Isto aqui é a nossa reta secante. A gente quer um ponto ao longo desta curva, neste intervalo em que a inclinação é a mesma da inclinação desta reta secante. Então, seria mais ou menos neste ponto aqui. Neste ponto, a gente tem uma inclinação mais ou menos parecida com a inclinação da reta secante. Então, mais ou menos, assim. O que nós estamos querendo encontrar é justamente é este ponto "c" que vai estar mais ou menos aqui. Então, vamos calcular utilizando o Teorema do Valor Médio. A primeira coisa a se fazer é calcular a derivada desta função. Vamos fazer isto! A gente sabe que a nossa função f(x) = √4x - 3. Então, vamos colocar aqui para melhorar a visualização. Deste jeito, 4x -3 elevado a 1/2, porque assim fica mais fácil para calcular derivada. A derivada de f(x), ou seja, f'(x) vai ser igual. Para calcular esta derivada, a gente vai usar a regra da potência e a regra da cadeia. Já que a gente tem uma função de uma função. Então, utilizando a regra da cadeia, a gente vai calcular a derivada da função externa. E para calcular a derivada da função externa é só utilizar a regra da potência. Então, a gente tem aqui alguma coisa elevada a 1/2. A gente coloca este expoente aqui na frente. A gente vai ter 1/2 vezes este alguma coisa que é 4x - 3 elevado a 1/2 - 1, que é igual a -1/2. E isto vezes a derivada da função interna. A derivada de 4x - 3 = 4, então a gente vai multiplicar isto aqui por 4. Assim, a gente pode dizer que a derivada da função f(x) vai ser igual a 1/2 vezes 4, é apenas igual a 2, vezes 4x -3 elevado a -1/2. E isto daqui é a mesma coisa que 2 / √4x - 3. Agora que a gente já tem a derivada, a gente pode colocar aqui e avaliar neste ponto "c". Ou seja, eu substituí todos os "x" da derivada por "c". Então, vamos fazer isto! A gente vai ter 2 / √4c - 3 e isto sendo igual, vamos avaliar logo estas funções aqui, a função para o x = 3. Inclusive, a gente já até avaliou aqui. O "f" quando x = 3, vale 3. E o "f" quando x = 1, vale 1. Assim, a gente vai ter 3 - 1 que é 2. E embaixo também 3 - 1 que é 2. 2 / 2 = 1. Então, a gente tem tudo isto aqui sendo igual a 1. Ok, o que nós podemos fazer aqui agora é multiplicar os dois lados desta equação por √4c - 3. Multiplicando tudo isto por √4c - 3, a gente vai ter apenas 2. Então, sobra apenas 2 aqui do lado esquerdo. E aqui, deste lado direito, multiplicando 1 por √4c - 3, a gente vai ficar apenas com √4c - 3. Para eliminar esta raiz quadrada aqui, basta elevar os dois lados da equação ao quadrado. Então, a gente eleva 2 ao quadrado, e √4c - 3 também ao quadrado. 2² = 4. E esta parte aqui, a raiz quadrada disto elevado ao quadrado, é apenas igual a isto. Ou seja, 4c - 3. Somando agora por 3 dos dois lados. 4 + 3 = 7. 4c - 3 + 3 = 4c. Fazendo isso aqui em cima para a gente ganhar mais espaço. Se a gente quer o valor de "c", basta simplesmente dividir o 7 por 4. "c" é igual a 7 / 4, que é igual a 1 3/4. E 1 3/4 = 1,75. Então, nosso ponto "c" é igual a 1,75. O que faz muito sentido, não é? Este ponto aqui não está muito próximo do 2? Então, neste ponto em que x = 1,75, a gente vai ter uma reta tangente tendo uma inclinação igual à inclinação da reta secante que liga os pontos "x = 1" a "x = 3" para esta função. E este, claro, é o Teorema do Valor Médio.