Otimização: área de triângulos e quadrados (parte 1)

RKA4JL - Vamos dizer que eu tenha um fio muito longo, e que esse fio tenha exatamente 100 metros de comprimento. Então, a distância, o comprimento dele saindo daqui e vindo até aqui é igual a 100 metros. Vamos supor que eu divida esse fio em dois pedaços, em dois pedaços dessa forma. Não necessariamente na metade, mas em dois pedaços. Este primeiro pedaço terá um comprimento igual a x, então a gente fala que o comprimento deste primeiro pedaço é igual a x. Já o comprimento dessa segunda parte, do segundo pedaço desse fio, será igual a 100 menos x. A gente vai ter aqui 100 menos x, certo? Vamos supor, agora, que a gente pegue esse primeiro pedaço e faça um triângulo com ele e com esse segundo pedaço a gente faça um quadrado. Obviamente esse triângulo vai formar uma área e esse quadrado também. O que eu quero neste vídeo é minimizar a área dessas duas figuras, ou seja, encontrar a maior área combinada da área dessas duas figuras. Então o que nós estamos querendo minimizar aqui seria a área combinada dessas duas figuras. A área combinada dessas duas figuras é igual à área do triângulo mais a área do quadrado. Tudo bem, tranquilo, então é isso que a gente quer minimizar. Mas qual seria a área do triângulo e qual seria a área do quadrado? Neste caso a gente vai ter um triângulo equilátero, e o triângulo equilátero é aquele em que todos os lados são iguais. Então se o comprimento total deste fio é igual a x e a gente vai formar um triângulo unindo as duas pontas dele, vamos ter cada lado desse triângulo sendo esse x dividido por 3, já que a gente tem três lados iguais. Então nesse primeiro lado a gente vai ter x/3, nesse segundo aqui também x/3, e nesse terceiro também x/3. Então esse triângulo retângulo tem cada lado com um valor igual a x/3. A minha pergunta agora é: Como a gente consegue determinar a área desse triângulo? Deixe-me dar uma ampliada aqui do lado para fazer isso. A gente vai ter aqui um triângulo equilátero, e o triângulo equilátero é aquele em que todos os lados são iguais. Como é que a gente consegue determinar a área de um triângulo, seja ele qual for? A área de um triângulo vai ser igual à metade do comprimento da base vezes a altura. A primeira coisa que a gente precisa fazer é dividir esse triângulo no meio. Por mais que a minha figura não pareça, ela está dividida aqui no meio e os dois lados são simétricos. Isso aqui vai ser a altura h desse triângulo. Toda essa distância corresponde à base desse triângulo. Como se trata de um triângulo equilátero, aqui também a gente vai ter um comprimento que corresponde à base e aqui a gente também tem um comprimento que corresponde ao mesmo comprimento dessa base. Então cada lado têm o mesmo comprimento da base desse triângulo, por isso coloquei "b" aqui, "b" aqui e "b" aqui, já que todos têm um comprimento igual ao comprimento da base desse triângulo. Então a área do nosso triângulo vai ser igual à metade da base, desse comprimento aqui da base, vezes a altura h. Mas como a gente quer minimizar a área é importante que se coloque toda essa área em função da mesma coisa, e nesse caso seria interessante colocar em função desse b, já que se trata da base desse triângulo. E a base desse triângulo a gente conhece, é x/3, não é? Então vamos fazer isso aqui de alguma forma? Para fazer isso a gente precisa relacionar esse comprimento b com essa altura. Como é que a gente pode fazer isso? Dividindo esse triângulo equilátero no meio a gente vai ter desse lado um triângulo retângulo, certo? Então vamos considerar esse triângulo retângulo aqui. O legal de ter um triângulo retângulo é que a gente pode utilizar o teorema de Pitágoras para relacionar essas dimensões. A gente já tem esse lado aqui, que é a hipotenusa, a gente já tem esse outro aqui, que é um dos catetos, então falta encontrar esse outro cateto. Esse outro cateto aqui seria a metade dessa base. A metade dessa base é o quê? A base dividida por dois. Agora que a gente já tem tudo isso, conseguimos relacionar essas dimensões através do teorema de Pitágoras. Como? A hipotenusa elevada ao quadrado, e a hipotenusa neste caso é igual a b, b², tem que ser igual à soma dos quadrados dos catetos, e o primeiro cateto que a gente tem aqui é esse b/2. Então a gente vai ter (b/2)² mais o outro cateto, que nesse caso é h², então a gente vai ter aqui h². O nosso objetivo vai ser encontrar esse h², tudo bem? Então a gente vai precisar isolá-lo de alguma forma. Vamos resolver isso aqui. A gente vai ter b² sendo igual a b² dividido por 4, então a gente vai ter b² dividido por 2², que é 4, mais h². Como o nosso objetivo é encontrar esse h para substituir aqui na expressão da área, a gente vai isolar isso aqui. Como? Subtraindo por (b² sobre 4) dos dois lados da equação. Assim a gente vai ter que h² vai ser igual a b² menos (b² dividido por 4). Agora, para resolver isso, a gente precisa colocar um denominador sendo igual a 4 aqui porque assim a gente vai ter os dois sobre o mesmo denominador e vai conseguir resolver essa expressão. Para colocar um denominador sendo igual a 4 a gente precisa multiplicar por 4 aqui em cima também, porque assim a gente não altera a expressão. Tendo essas duas expressões com os denominadores iguais, a gente consegue repetir o denominador e subtrair os numeradores. Assim a gente vai ter que h² vai ser igual a 4 menos 1, que é 3, 3 vezes (b² dividido por 4). Isso é h², certo? Para a gente encontrar h agora basta tirar a raiz quadrada dos dois lados da expressão. Assim a gente vai ter h, a raiz quadrada de (h²) é igual a h, e a raiz quadrada de (b²) vai ser igual a b, e a raiz quadrada de 4 é igual a 2. Então h vai ser igual à (raiz quadrada de (3) vezes b) dividido por 2. Agora que a gente já tem o nosso h, conseguimos substituir aqui e colocar a área em função do b. Então vamos fazer isso. Então a área do nosso triângulo vai ser igual a ½ vezes b vezes h, que é a raiz quadrada de (3) vezes b, dividido por 2. Observe que a gente tem b aqui e b no numerador, então b vezes b é b² e aqui no denominador a gente tem 2 vezes 2, e 2 vezes 2 é 4. Então isso, essa área desse triângulo todo aqui, é igual à (raiz quadrada de (3) vezes b²) dividido por 4. Então isso aqui corresponde à área do nosso triângulo. Se a gente quer a área combinada, essa área combinada, claro que em função de x, que é o que a gente quer fazer aqui, vai ser igual à área do triângulo, e a área do triângulo aqui vai ser igual à raiz quadrada de (3) vezes b, mas b é a base do nosso triângulo, que aqui é igual a x dividido por 3, então a gente tem aqui (x dividido por 3)², e claro, isso dividido por 4. Agora a gente vai ter que somar com a área do quadrado, e qual seria a área do quadrado? Se a gente vai pegar tudo isso e conectar os dois pontos formando um quadrado em que os lados são iguais, cada um desses lados vai ter uma distância sendo igual a (100 menos x) dividido por 4. Então aqui a gente tem (100 menos x) dividido por 4 e esse outro lado também vai ser (100 menos x) dividido por 4. E como a gente consegue calcular a área de um quadrado? Para calcular a área de um quadrado basta elevar um dos lados ao quadrado. Então a gente vai ter aqui o lado sendo igual a ((100 menos x) dividido por 4)². Agora a gente já encontrou a expressão para a área combinada em função de x da área do triângulo e da área do quadrado, e essa expressão aqui que nós queremos minimizar. Então é isso aqui que nós vamos minimizar, e nós vamos fazer isso no próximo vídeo.