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Transcrição de vídeo

olá nesse vídeo estou fazendo uma pergunta qual é a menor soma possível dos quadrados de dois números se o seu produto é menos 16 só que normalmente quando temos uma soma a soma entre dois números vai ser x mais y certo só que aqui nós queremos saber a soma dos quadrados desses dois números então essa soma vai ser igual à x ao quadrado x elevada ao quadrado mais y elevado ao quadrado certo então o que nós queremos saber é qual é a menor só uma possível menor valor aqui nessa soma o menor valor para essa soma que seja possível outra informação que esse anunciado nos deu é que o produto em trieste x e y entre os dois números é igual a menos 16 então nós temos aqui x vezes e y e que isso é igual a menos 16 algo interessante para a gente fazer aqui nessa soma é que a gente quer menor soma possível a gente tem que fazer um processo de minimização ou seja a gente precisa minimizar essa soma e para minimizar essa soma a gente precisa calcular derivada dessa soma no entanto nós temos essas duas variáveis x e y seria interessante a partir dessa relação aqui colocar apenas em função de uma variável a gente pode colocar em termos de x ou colocar em termos de y no meu caso eu prefiro colocar tudo em termos de shin então a gente vai substituir esse som aqui por algo que esteja em função de xis como fazer isso aproveitar essa relação que a gente já tem aqui se xv exhibition é igual a menos 16 eu posso afirmar que y é igual a menos 16 / x então se eu sei que isso é igual a menos 16 / x eu posso substituir aqui no lugar desse y que na soma então nós vamos ter que a soma vai ser igual à x ao quadrado mais y elevada ao quadrado só que y é igual a menos 16 / x então a gente tem menos 16 / x levado ao quadrado claro que agora nós temos uma função de x então essa soma vai ser uma função em x certo em que isso é igual à x elevada ao quadrado mais -16 elevada ao quadrado é igual a 256 sobre x elevada ao quadrado só que como a gente tem aqui esse xis no denominador a gente pode colocar ele aqui em cima multiplicando trocando o sinal do expoente então a gente vai ter x elevado a -2 então agora nós já temos uma soma em função de x em função da variável x como nós estamos querendo minimizar a gente precisa calcular a derivada dessa função e calculando a derivada dessa função a gente vai encontrar os pontos de massa e meninos ea partir dessa derivado a gente consegue encontrar os pontos críticos tendo os pontos críticos em mãos a gente consegue saber se esses pontos são ponto de máximo ou mínimo ea partir dessa informação a gente consegue determinar menor só uma possível para esses dois quadrados então vamos fazer isso vamos inicialmente calcular derivada para essa função então a derivada para essa função somam-se joeci linha de x é igual a derivada de x ao quadrado é igual a 2 x 1 256 é constante certo vamos levar um xis elevado - 2 x elevado - dois vai ser igual a menos duas vezes 256 e duas vezes 256 é igual a 512 então nós temos aqui menos 512 vezes x elevado - 2 - 1 que é igual a menos três só que agora que calculamos a derivada nós podemos determinar os pontos críticos mais antes de fazer isso a gente precisa ver se tem algum ponto que tenha uma determinação como vimos aqui y é igual a menos 16 sobre che certo então não podemos ter um x igual a zero porque senão vamos encontrar um valor determinado ou seja y em determinado aqui então nesse domínio não podemos ter um x igual a zero pra gente agora saber os pontos críticos em que o x não seja igual a zero final e sem nenhum ponto de determinação então não pode ser um ponto crítico nós vamos igualar essa derivada aqui com 10 ou seja derivada sendo igual a zero a derivada é igual a 2 x menos 512 vezes x elevado a menos três e os igual a zero ok você poderia dizer olha olha para x igual a zero a gente vai ter uma derivada igual a zero certo só que como eu disse os x é um ponto que dá uma determinação então nós não podemos ter 10 como ponto crítico então vamos escolher outro ou outros pontos que não seja igual a zero trabalhando nessa expressão aqui a gente vai ter 2 x 1 sendo igual a 512 vezes x elevado a -3 eu posso agora multiplicar por x elevado a 3 em ambos os lados dessa igualdade para eliminar esse xis aqui e vamos fazer isso vamos multiplicar por x elevado ao cubo aqui desse lado e também aqui desse lado assim a gente vai ter do lado direito 2 vezes x elevado à quarta potência e desse lado a gente vai te x elevado - três vezes x elevado a 3 a gente acaba anulando esses dois aqui ficando apenas com 512 dividindo os dois lados por dois agentes têm do lado esquerdo x elevado a 4 e do lado direito 512 / 12 256 pra encontrar o nosso ponto crítico agora como a gente tem um x e levado à quarta potência a gente pode tirar raiz quadrada dos dois lados a raiz quadrada de she's a quarta é igual à x elevada ao quadrado ea raiz quadrada de 256 é igual a 16 a mesma coisa a gente pode fazer que tirar raiz quadrada de x ao quadrado a raiz quadrada de x ao quadrado é igual à x ea raiz quadrada de 16 é igual a quatro bem por 4 é o nosso ponto crítico como se trata do nosso único ponto crítico possivelmente é o número que nós encontramos essa menor soma possível mas vamos texto era aqui e ver se realmente esse é um ponto de mínimo mas para saber realmente se esse xis igual a 4 é um valor de mínimo nós podemos fazer um teste utilizando a segunda derivada vamos fazer isso a segunda derivada s duas linhas para x é igual bastante e vai estudar aqui novamente a derivada de 2 x é igual a 2 502 vezes x elevado - três a gente joga se menos três aqui pra frente - vezes - a gente fica com mais então a gente vai ter um número positivo e três vezes 512 é igual a 1536 vezes x elevado - 3 - 1 que é menos quatro ok então nós temos aqui a segunda derivada se você observar bem aqui independente do valor de x que a gente colocar que a gente sempre vai obter um valor positivo então isso daqui é positivo em todo o domínio então se a gente fizer o gráfico da nossa função algo mais ou menos parecido com isso aqui a gente vai observar que se a gente pegar esse ponto a gente vai ter uma certa inclinação se pegar esse outro ponto ele vai ficando menos negativos pegar nesse ponto ele fica menos negativo se pegar aqui embaixo ele fica horizontal se pegar aqui ele se torna mais positivo aqui mais positivo ea que mais positivo ou seja a gente vai ter uma inclinação se tornando cada vez mais positiva então como a segunda derivada sempre vai dar um valor positivo independente do ponto a gente vai ter em todo o domínio uma concavidade voltada para cima então para essa função a gente vai ter uma concavidade voltada para cima e o que seria esse xis igual a 4 que esse xis igual a 4 é o ponto em que a derivada é igual a zero ea derivada é igual a zero no ponto em que a inclinação é nula ou seja nesse ponto aqui embaixo é que a gente tem uma reta tangente sendo horizontal então esse ponto aqui só pode ser o ponto de mínimo agora que encontramos o x nós podemos encontrar o y certo quer dizer na verdade nem precisamos porque aqui a gente já tem algo em função de x mas vamos encontrar aqui o y de qualquer forma y é igual a menos 16 / x certo então substituindo esse xis aqui nós vamos ter um y sendo igual a menos 16 / 4 que é igual a menos quatro agora que a gente já encontrou x e um y nós podemos encontrar qual é a menor soma possível então essa menor soma possível vai cs sendo igual à x ao quadrado 4 quadrado é igual a 16 mas y ao quadrado menos quatro elevador quadrado também 16 e 16 mais 16 é igual a 32 então o que nós fizemos foi encontrada e levada os possíveis pontos de determinação a partir daí nós encontramos os valores os pontos críticos isso quando a derivada é igual a zero determinamos a segunda derivada para saber se a concavidade era voltada para cima antes ou depois desse número crítico como o nosso número crítico que foi igual a 4 a gente viu que antes do 4 nós tínhamos uma derivada se tornando cada vez menos negativa e depois do 4 se tornando cada vez mais positiva assim tanto antes do 4 quanto depois do 4 a gente tinha uma concavidade voltada para cima como concavidade dos dois lados estava voltada para cima o 4 era um ponto de mínimo a partir desse ponto que a gente soube que o quadro era um ponto de mínimo nós encontramos um valor de y realizamos a soma e encontramos a menor soma possível mas aí você pode dizer pra mim olha eu poderia ter feito isso testou números eu poderia colocar aqui - um vezes 2 - 1 vezes 3 - um desses quatro se não desce é que a gente ia substituindo x e um y los até encontrar algo igual a menos 16 ser inclusive até muito fácil fazer isso no entanto nesse problema nós tivemos um valor inteiro então isso facilita a dedução só que por mais que você tentasse que números inteiros você não estaria tentando por exemplo o 4,1 ou 4,000 ou seja você não estaria tentando todos os números do conjunto dos números reais então vamos supor que ao invés de -16 você tivesse menos 17 ou quem sabe menos 16,5 seria bem mais difícil fazer isso não é então todas as vezes que você tiver números em que não dê pra ir testando o ideal é utilizar esse processo eu mostrei aqui nesse vídeo
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