Otimização: custo de materiais

RKA4JL - Um reservatório de base retangular aberto deve conter o volume de 10 metros cúbicos. O comprimento da base é o dobro da sua largura. O custo material do fundo é de 10 reais por metro quadrado. O custo das laterais é de 6 reais por metro quadrado. Determine o menor custo possível para construir o reservatório. Vamos tentar desenhar um reservatório. Ficaria um negócio mais ou menos assim. Desenhando o nosso reservatório, nós vemos que temos uma parte aqui do fundo que a gente não enxerga bem (deixe-me colocar uma outra cor, vou colocar em vermelho) Essa parte do fundo custa 10 reais por metro quadrado, enquanto a parte lateral, tanto essa quanto esta parte lateral, custa 6 reais por metro quadrado. Ora, nós temos que se a largura vale x, o comprimento vai valer 2x e nós vamos ter uma altura h. Como é que nós podemos calcular o custo? O custo vai ser o custo do fundo, que vai ser a área do fundo, ou seja, x vezes 2x vezes o custo do fundo, que é igual a 10 mais... Nas laterais nós temos esta lateral e temos essa lateral, ou seja, temos duas laterais onde a largura é igual a x. Então x vezes h vai dar essa área, então 2 vezes x vezes h vezes o custo, que é 6, mais o custo dessas outras duas laterais, que vai ser 2x vezes h vezes 2, porque são duas laterais, e vezes o custo, que é igual a 6. Então o custo fica 2x vezes x, que dá 2x², vezes 10, 20x² mais... Aqui nós temos 2 vezes 6, 12xh, aqui nós temos 2 vezes 2, 4 vezes 6, 24xh. Então 24xh mais 12xh, vamos ter 36xh. Agora aqui nós temos uma função com duas variáveis. Vamos ver se a gente coloca em função de uma variável só. Qual é a relação entre h e x? Nós sabemos que o volume tem que ser de 10 metros cúbicos, ou seja, se eu multiplicar a base, a área da base vezes a altura tem que dar 10 metros cúbicos, portanto x vezes 2x vezes h tem que ser igual a 10, ou seja, x vezes 2x dá 2x². Então nós temos h igual a 10 sobre 2x², que é igual a 5 sobre x². Voltando aqui, nós temos agora o custo só em função de x. Nós temos 20x² mais 36 vezes x vezes h, que é 5 sobre x². Simplificando, nós vamos ter que o custo fica sendo igual a 20x² mais 36 vezes 5, que dá 180. Como x está embaixo, o colocamos como x⁻¹. Fazendo a primeira derivada nós vamos ter o mínimo ou máximo do custo. Vamos verificar se temos um mínimo ou um máximo. Então vamos derivar. Vamos ter 40x mais... Ou melhor menos, porque nós temos o expoente negativo, -180x⁻². Isso nós vamos igualar a zero. Ora, x não faz sentido ser zero, pois aqui solucionaria. Aliás, nem solucionaria, porque o x está embaixo e não tem sentido x ser zero porque essa caixa não teria dimensão nenhuma e h não faria nenhum sentido. Então vamos igualar isso aqui a zero. Nós temos que 40x é igual a 180 sobre x². Vamos ter que 40x³ é igual a 180 e passando para cá nós vamos ter x³ igual a 180 sobre 40, que dá 9 sobre 2, ou 4,5. Portanto nosso comprimento vai ser a raiz cúbica de 4,5. Então vamos ver quanto é que vale calculando na calculadora. Nós temos 4,5 elevado a ⅓. Dá 1,65. Portanto x é igual a 1,65. Não sabemos ainda se isso é máximo ou mínimo. Provavelmente é mínimo. Para sabermos se é máximo ou mínimo, vamos derivar de novo essa função. Derivando de novo essa função, se ela der positivo a concavidade é para cima, se der negativo a concavidade é para baixo, ou seja, se ela der positivo a concavidade é para cima e assim nós vamos ter um ponto de mínimo. Então a derivada segunda de x fica 40, -180 vezes -2 vai dar +360 sobre x⁻³, que fica sobre x³. Ora, x é um número positivo, 40 número positivo, ou seja, toda essa função é positiva, o que significa que a concavidade é para cima e nós temos realmente um ponto de mínimo. Então agora podemos calcular o custo. Qual é o custo de 1,65 metro quando x for igual 1,65 metro? Vamos pegar a equação geral para calcularmos. Nós vamos ter 20 vezes 1,65² mais 180 aqui tem x⁻¹, então vamos ter 180 sobre 1,65. Então o nosso custo mínimo, que é quando o comprimento for x, quando essa largura for 1,65, vai ser... Vamos calcular aqui na calculadora. Vamos ter em 20 vezes 1,65² vezes (180 dividido por 1,65). Somados dão 163,54, ou seja, nosso custo mínimo será de 163 reais e 54 centavos.