Otimização: volume de uma caixa (parte 2)

RKA3JV - No vídeo passado, foi dado uma caixa de 20 de lado e 30 do outro lado. E foi perguntado qual era o corte, o tamanho do corte "x", que tornaria este volume máximo. Foi feito cálculo através de uma calculadora, que fez o gráfico. E neste ponto de máximo ele deu o volume de 1.056. E "x", o tamanho do "x", ficou 3 vírgula alguma coisa. Não dá para ver direito. Obviamente, este intervalo, se você tem um lado menor de 20, 20 menos 2 cortes de "x" tem que ser maior ou igual a zero. Ou seja, o "x" este corte, tem que ficar entre zero e 10. Então, este foi intervalo que vimos para "x". Agora, vamos resolver através de cálculo e ver se chegamos no valor que foi feito pela calculadora. Nós temos que V(x) é igual a "x" vezes, 20 vezes 30 é 600, 20 vezes -2x dá -40x, -2x vezes 30 = -60x. -2x vezes -2x dá 4x². Abrindo estes parênteses, nós vamos ter V(x) é igual a, vamos organizar aqui. Colocar aqui 4x² vezes "x" dá 4x³. -40x - 60x vai ficar -100x, vezes "x", -100x². E 600, fica 600 vezes "x" dá 600x. Para sabermos o mínimo, vamos derivar essa função e igualá-la a zero, pois aí achamos o ponto de declive máximo, ou mínimo ou máximo. Neste caso, vai ser o máximo. Vamos ver, vamos verificar pela derivada segunda. Muito bem, você tem a primeira derivada, a primeira vai ficar 12x² - 200x + 600. E isso nós devemos igualar a zero. Ou seja, x₁,₂ = 200 +- √200². Tanto faz ser negativo ou positivo. Ele vai ficar positivo, -4ac, -4 vezes 12, vezes 600, sobre 2a. Ou seja, 2 vezes 12 igual a 24. Então, vamos fazer na calculadora, porque vai ficar melhor. Vamos ver, aqui você tem 200², -4 vezes 12, vezes 600. Fecha os parênteses, igual, tira a raiz quadrada, e temos este valor aqui que nós vamos somar com 200, ou pegar e subtrair com 200. Vamos primeiro somar com 200, +200 igual, dividido por 24. Vamos ter 12,74. Então, o primeiro "x" que achamos é 12,74. Já vimos que este "x" não vale, porque está fora. Ele está fora, ele não pode ser maior do que 10. Então, vamos calcular o outro, "x₂". Como a gente dividiu por 24, vamos multiplicar por 24. Voltamos para o número anterior. E este número aqui, vamos subtrair 200 dele. E, agora, ao invés de somarmos 200, vamos subtrair 200. Vamos subtrair 200 e inverter o sinal. Nós temos 94 / 24. O outro "x" vai ficar 3,92. Então, nós temos 3,92, que é um número aceito. 3,92 é o número que nós procuramos. E este número aqui está descartado, pois o intervalo é de zero a 10. Agora, como é que vamos ver se esta concavidade é para cima ou para baixo? Vamos tirar a segunda derivada. Derivada segunda de "V" vai ficar 24 vezes "x" menos 200. Derivamos esta função aqui. Ora, vemos que 24 vezes 4 daria 96, menos 200, este cara vai dar um número negativo! Ou seja, menor do que zero. Se ele é menor do que zero, significa que a concavidade é voltada para baixo. Se a concavidade é voltada para baixo, nós temos um valor de máximo aqui. Então, portanto, este valor que nós calculamos é um valor de máximo. Agora, se quisermos calcular qual é o valor do volume, é só substituir. Vamos fazer a conta. Primeiro, nós achamos aqui 3 vírgula, e aqui que não está aparecendo muito, é 3,92. Vamos calcular agora V(3,92). V(3,92) é igual a 3,92 vezes 20, eu estou substituindo nesta equação para calcular o volume, já que a gente achou qual "x" que vai dar o volume máximo. Então, continuando, nós temos -2 vezes 3,92, vezes 30, menos 2 vezes 3,92. Então, vamos fazer na calculadora para verificar quanto vale esta conta. Vamos zerar aqui, trazer a calculadora um pouco para cá, e vamos ver aqui. 20 - 2 vezes 3,92, igual. Isto vezes (30 - 2 vezes 3,92), igual. E multiplicamos por 3,92. Vamos achar 1.056,3. 1.056,3 é exatamente, deu exatamente o que foi calculado. Então, o V(3,92) é igual a 1.056,3. Este é o volume máximo obtido a partir do "x", que vai dar o volume máximo. E nós fizemos, não através de um computador, não através de um gráfico computacional, para ver o ponto de máximo e a partir dele obter os dois valores. Mas, a partir do cálculo!