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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 5
Lição 11: Como resolver problemas de otimização- Otimização: soma de quadrados
- Otimização: volume de uma caixa (parte 1)
- Otimização: volume de uma caixa (parte 2)
- Otimização: lucro
- Otimização: custo de materiais
- Otimização: área de triângulos e quadrados (parte 1)
- Otimização: área de triângulos e quadrados (parte 2)
- Otimização
- Problemas sobre movimento: cálculo da aceleração máxima
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Problemas sobre movimento: cálculo da aceleração máxima
A velocidade de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada por v(t)=-t³+6t²+2t. Analisamos a partícula para obter o instante no qual sua aceleração atinge seu valor máximo.
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Transcrição de vídeo
RKA8JV - Uma partícula se move
ao longo do eixo "x" a partir de um tempo "t ≥ 0" e sua velocidade é dada por: v(t) = -t³ + 6t² + 2t. Em qual instante de tempo "t" a partícula obtém a máxima aceleração? Bem, o problema nos forneceu
uma função para velocidade, e o que ele está pedindo
é para a gente encontrar a máxima aceleração obtida
por essa partícula. Bem, antes de a gente
começar a fazer isso, é interessante a gente lembrar
de algumas coisas. Por exemplo, se eu tenho uma função que representa a posição dessa partícula ao longo do eixo "x", ou seja, x(t), para obter a velocidade dessa partícula, basta derivar essa função. Assim, a gente vai ter que
a derivada de x(t), ou seja, x'(t) = v(t), a função velocidade da partícula. Se a gente derivar agora a velocidade, nós vamos encontrar a função da aceleração dessa partícula
ao longo dessa trajetória. Bem, o problema forneceu aqui para
a gente a função velocidade, certo? Então, se a gente quer obter
a função aceleração, basta derivar essa função velocidade, e é o que nós vamos fazer aqui. Ele falou para a gente que
a velocidade dessa partícula, a função velocidade em relação ao tempo, é igual a "-t³ + 6t² + 2t" Para encontrar a função aceleração, basta derivar esta função velocidade. Para derivar esta função aqui, basta utilizar a regra da potência. Assim, a gente vai colocar
aqui o 3 na frente do "t" e vamos ter -3t, e aqui no expoente nós vamos subtrair 1,
3 - 1 = 2, mais, a mesma coisa aqui, a gente vai colocar o 2 na frente do "t", assim a gente vai ter 6 vezes 2, que é igual a 12, e no expoente a gente
também vai subtrair 1 2 - 1 = 1, então, a gente nem precisa colocar
esse 1 aqui no expoente, mais, a derivada de 2t,
que é igual a 2. Beleza, agora nós já temos
aqui a função aceleração. Mas o problema está
pedindo para a gente em qual instante de tempo
a partícula obtém a máxima aceleração. Se a gente já tem a função da aceleração, a gente pode plotar um
gráfico para essa função e buscar o ponto em que essa
aceleração vai ter um valor máximo. Por exemplo, vamos supor que
a gente vai plotar aqui do lado. Como essa aqui se trata de uma
função do segundo grau, a gente vai ter um gráfico
tendo uma forma parabólica, e o sinal aqui na frente do primeiro termo vai indicar para a gente se essa parábola está voltada
para cima ou para baixo. Como o sinal aqui é negativo, significa que esta função
está voltada para baixo. Então a gente vai ter
uma função da aceleração mais ou menos desse jeito aqui, com essa concavidade voltada para baixo, em que aqui é o ponto
em que a gente vai ter a máxima aceleração dessa partícula. Bem, como que nós poderíamos
encontrar essa aceleração? Neste ponto aqui, nós temos
esta reta tangente, certo? E para obter esta reta tangente, basta derivar a função aceleração. Neste ponto, esta reta tangente
tem uma inclinação igual a zero, e é neste ponto em que a gente
vai encontrar a máxima aceleração. Então, para a gente
encontrar o ponto em que a gente vai obter a máxima aceleração, basta derivar a aceleração em relação ao tempo
e encontrar o instante de tempo em que esta derivada é igual a zero, porque é neste ponto em que a inclinação da reta
tangente é igual a zero que nós vamos ter o ponto
de máxima aceleração. Então, vamos fazer isso. Vamos derivar esta função aceleração aqui. Derivando a aceleração, nós temos, novamente,
utilizando aqui a regra da potência, a gente coloca este 2
aqui na frente do "t", assim nós vamos ter 3 vezes 2, que é igual a 6, e subtrai 1 aqui no expoente, 2 - 1 = 1. Aqui, a derivada de 12t = 12. Percebam que esta derivada
tem um sinal negativo aqui. Isso significa que, a medida que o tempo passa, essa derivada está se tornando
cada vez mais negativa. Pelo fato dela está se tornando
cada vez mais negativa, significa que a gente vai ter
uma concavidade voltada para baixo. O interessante é que a gente
também poderia fazer o teste aqui da segunda derivada. Fazendo o teste da
segunda derivada, a gente iria encontrar um valor negativo, e uma segunda de derivada
tendo um valor negativo, significa que a concavidade
está voltada para baixo. Mas vamos nos preocupar, agora,
em encontrar um instante de tempo em que esta partícula obtenha
a máxima aceleração. Para fazer isso, basta a gente igualar
esta derivada aqui com o zero. Subtraindo por 12 dos dois
lados aqui da igualdade, a gente vai ter
-6t = -12 e dividindo por -6 dos dois lados, a gente vai chegar
a um resultado igual a 2. Então, este aqui é um instante de tempo em que esta partícula vai alcançar a máxima aceleração. Então, a gente pode dizer que
a máxima aceleração vai ser em "t = 2". Qual é a máxima aceleração aqui? Em um tempo igual a 2. Mas só como diversão, vamos realmente constatar que esta concavidade aqui
está voltada para baixo. Para fazer isso, a gente pode
fazer o teste da segunda derivada. A gente vai derivar
a derivada da aceleração. Então, derivando duas vezes
aqui a aceleração, nós vamos derivar esta derivada aqui. A derivada de -6t = -6, e a derivada de 12 é igual a zero. Isso significa que a segunda
derivada da aceleração sempre vai ter um valor negativo. Então, se ela sempre vai
ter um valor negativo, significa que, ao longo
do nosso intervalo, a gente sempre vai encontrar
uma concavidade voltada para baixo. "A concavidade sempre estará para baixo". É devido a essa concavidade estar
sempre voltada para baixo que a gente pode ter certeza que este ponto aqui vai ter
a máxima aceleração, ou seja, em um instante
de tempo igual a 2.