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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 5
Lição 2: Teorema do valor extremo, extremos globais x locais e pontos críticosTeorema de Weierstrass
O teorema de Weierstrass diz que se uma função é contínua em um intervalo fechado [a,b], então a função tem um máximo e um mínimo nesse intervalo. Isso faz sentido: quando uma função é contínua, você pode desenhar seu gráfico sem tirar o lápis do papel, então deve atingir um ponto mais alto e um ponto mais baixo nesse intervalo. Versão original criada por Sal Khan.
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- Achei esse teorema muito confuso...
Por exemplo, na situação de uma função não contínua ainda me parece que pode haver um valor mínimo(1 voto)- Já faz tempo que você postou sua dúvida, mas no final desse artigo tem uma explicação sobre a diferença dos três teoremas e um exercício. Talvez te ajude
https://pt.khanacademy.org/math/differential-calculus/dc-analytic-app/dc-mvt/a/review-establishing-differentiability-for-mvt(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA10MP – Neste vídeo, vamos falar
um pouco sobre o teorema do valor extremo. O teorema do valor extremo diz
o seguinte: se uma função é contínua e está definida no intervalo
fechado entre “a” e “b”, então existe,
este é o sinal de existe, um valor máximo
absoluto no intervalo e existe um valor
mínimo absoluto no intervalo [a, b] considerado,
e o intervalo é fechado. Então, vamos dar uma olhada graficamente
para ver o que estamos dizendo. Vamos supor que aqui você tenha o eixo
do f(x), aqui tenha “x”, aqui tenha f(x), aqui tenha o ponto “a”
e aqui tenha o ponto “b”. Vamos supor que aqui seja o nosso f(a)
e aqui seja o nosso f(b). Então, ela está definida
nestes dois pontos: (a, f(a)) e (b, f(b)). Como é que a função
pode ir de “a” para “b”? Ou seja, ela pode fazer
alguma coisa deste tipo. Ela pode descer, subir
e depois chegar em “b”. Com isso, ela tem o valor de mínimo aqui
e tem o valor de máximo neste ponto. Vamos chamar este valor de mínimo
de “c”. Então seria nosso f(c). E vamos chamar este
valor de máximo de “d”, então este seria nosso f(d). O que significa isso?
Significa que existe um “c” e um “d” pertencente a um intervalo
fechado entre “a” e “b”, aqui é fechado, por isso
que está entre colchetes, tal que f(c) é menor
ou igual a f(x), que é menor ou igual a f(d), para todo “x” que pertença
ao intervalo fechado [a, b]. Então, vamos ver essas duas condições,
porque tem que ser contínua e porque tem que ser
no intervalo fechado ab. Primeiro, vamos ver porque
tem que ser contínua. Vamos colocar outro gráfico
que saia de “a” e de “b”. Aqui temos “x”, temos f(x), temos “a”, temos “b”. E vamos supor que tenhamos
nosso f(a) neste ponto, então ela é fechada neste ponto, portanto vamos botar
uma chave neste ponto, e ela seja definida também em “b”, também seja definida,
então temos o nosso f(b), portanto, ela também é um intervalo
fechado e colocamos entre chaves. A maneira dela ir de “a” para “b”,
vamos supor que ela faça o seguinte: ela suba, de certa forma, mas
no ponto de máximo, ela não é definida, ela desce até um determinado ponto
e no ponto de mínimo, ela não é definida. Veja, por mais que você
chegue neste ponto, por mais que se aproxime deste ponto,
vamos chamar de ponto “c”, ela não é definida neste ponto,
ou seja, f(c) não existe. Você pode se aproximar
o quanto quiser de “c”, mas quando você chega em “c”, ela não tem definição, portanto
ela não tem um ponto de máximo. E no ponto que seria o ponto de mínimo,
vamos chamar de ponto “d”, aqui sendo o ponto
de mínimo, ponto “b”, ela teria aqui f(d), mas este f(d) não existe, e por que
ele não existe? Porque ele não está definido na função,
a função não é contínua. Vamos ver outro exemplo
quando o espaço for aberto, ou seja, quando o intervalo entre
“a” e “b” for o intervalo aberto. Então temos nosso
eixo “x”, temos nosso f(x), temos nosso “a”
e temos nosso “b”, mas ele não é definido nem em “a”
e nem em “b”, por isso colocamos entre parênteses. Então, vamos supor que seja
uma função deste tipo. Você pode se aproximar de “a” o quanto
quiser, mas ele é um espaço aberto em “a”. Ele não incluindo “a” significa
que não existe f(a), pois f(a) não está definida,
e o ponto “b” também não está definido,
não existe f(b). Portanto, ela não tem nem o ponto
de máximo nem o ponto de mínimo. Vamos supor ainda que você tenha
uma função que seja definida, que f(a) seja aqui
e f(b) seja por aqui, E a função faça exatamente
isso, uma reta daqui para cá. Neste caso, ela é definida
no ponto “a”, então ela tem f(a), ela é definida no ponto “b”,
portanto, ela tem f(b). O ponto “a” vai ser o ponto de mínimo,
f(a) a vai ser o ponto de mínimo, e no ponto “b” vai ser o ponto de máximo,
f(b) vai ser o ponto de máximo. Então, podemos
afirmar que f(x) está compreendido
entre f(c) e f(d), e pode ser igual a f(c)
ou pode ser igual a f(d). Ou seja, f(x) é maior
ou igual a f(c), ela pode ter um ponto de mínimo,
em que “c” coincide com “a” e este ponto de mínimo
vai ser o próprio “a”, e f(x) pode ser o ponto “d”,
em que você tem o ponto “b” igual ao ponto “d”,
e temos f(x) ou f(d) igual a f(d), que é o ponto de máximo. Então, resumindo para
o Teorema do Valor Extremo, tem que ser pelo menos
definida no intervalo ab, incluindo “a” e incluindo “b”,
e tem que ser pelo menos contínua para que exista um valor máximo
absoluto e um mínimo absoluto.