Conteúdo principal
Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 5
Lição 2: Teorema do valor extremo, extremos globais x locais e pontos críticosIntrodução a pontos críticos
Neste vídeo, apresentamos os "pontos críticos" de uma função e discutimos sua relação com os pontos extremos da função. Versão original criada por Sal Khan.
Quer participar da conversa?
Nenhuma postagem por enquanto.
Transcrição de vídeo
RKA3JV - E aí, pessoal.
Tudo bem? Nesta aula, nós vamos começar a falar a respeito de pontos críticos. E para isso eu tenho esta
função em amarelo. E eu quero saber quando ela tem valores
de máximos e mínimos. E, claro, para este vídeo, esta função é decrescente para valores
que vão para o infinito negativo, e decrescente para valores
que vão para o infinito positivo. E aí, eu te pergunto: qual é o valor máximo que
a função pode assumir? Observando o gráfico, nós podemos ver que este aqui
é o maior ponto que ela pode assumir. E é o que chamamos de máximo global. E a função nunca terá
um valor maior que esse. Ou seja, vamos ter um máximo global
no ponto (x₀, f(x₀)). Isso porque f(x₀) é maior do que
"f" de qualquer coisa, para qualquer "x" no domínio. Isto é bem intuitivo, não é? É só você olhar para este ponto e ver que não existe nenhum maior que ele. Agora, será que teremos um mínimo global? Não, porque esta função vai recebendo
valores cada vez mais negativos conforme o "x" vai para
o infinito negativo. E valores cada vez mais negativos conforme "x" vai se aproximando
do infinito positivo. Portanto, eu posso escrever
que não temos mínimo global. Agora, deixe-me te fazer outra pergunta. Será que temos mínimos locais
ou máximos locais? Bem, ter um mínimo local significa dizer que a função neste ponto é menor do que qualquer ponto
em sua vizinhança. Então, este ponto parece
ser um mínimo local. E, claro, nesta aula,
eu não vou definir nada, é só uma ideia intuitiva. Significa dizer que nós temos um x₁ de modo que o valor da função neste ponto seja menor do que qualquer
ponto em sua vizinhança. Ou seja, qualquer valor de "x"
que você escolher, à esquerda ou à direita, sempre vai dar um valor para a função
maior do que este valor aqui. Agora, será que tem máximos locais? Este aqui parece ser um máximo local. Isso significa dizer que para qualquer "x" que esteja
na vizinhança de x₂, a função sempre vai ser menor
do que este ponto aqui. Ou seja, qualquer valor de "x"
que você escolher à esquerda ou qualquer valor de "x"
que você escolher à direita do x₂, sempre vai dar um valor
inferior a este aqui. Claro, eu falei que parece
ser máximo local, porque eu não tenho uma prova
matemática ainda para isso. Nós só estamos olhando para função
e tendo uma ideia intuitiva. E, claro, o máximo global
também é um máximo local. Mas, agora que encontramos
estes máximos e mínimos, que também são chamados
de extremos da função, como podemos identificá-los se soubéssemos algo a respeito
da derivada da função? Vamos olhar a derivada
para cada um destes pontos. Vamos começar traçando a reta tangente
a este ponto. E aí, você pode ver que
a inclinação é zero. O que nos diz que a derivada
da função em x₀ é igual a zero. Ou seja, a inclinação da reta tangente
a este ponto é zero. E o que acontece aqui? A mesma coisa. A reta tangente a este ponto também
tem inclinação igual a zero. O que nos diz que a derivada
da função em x₁ é igual a zero. E aqui, o que acontece? Neste ponto, a reta tangente
não é definida. Nós temos uma inclinação
positiva e, então, imediatamente, a inclinação
se torna negativa. Portanto, a derivada da função em x₂
não é definida. E, de novo, eu não estou provando nada,
só estou dando uma ideia intuitiva. Ou seja, quando você tem um extremo que não está no ponto final
de um intervalo. Ou seja, quando não está. Deixe-me colocar aqui um plano cartesiano. Vamos dizer que aqui nós temos um ponto. E aí, a função começa aqui e continua. Este seria um ponto máximo,
mas seria um ponto final. Ou seja, eu não estou falando
deste tipo de extremo. Eu estou falando quando temos
vários pontos na curva ou quando o nosso intervalo é infinito. Então, eu não estou falando
de pontos iguais a este e nem de pontos iguais a este. Eu estou falando de pontos
dentro da curva. Eu acho que ficou claro, não é? Mas, enfim, se você tem um ponto
em um intervalo, será mínimo ou máximo. E foi o que vimos aqui em intuitivamente. Então, eu posso dizer aqui que
um mínimo ou máximo em x = a. Claro, sem ser um ponto extremos. A derivada da função no ponto "a"
é igual a zero, ou esta derivada neste ponto
não é definida, que é a mesma coisa que dizer
que é indefinida. Foi o que vimos nestes casos. Ou seja, a derivada aqui deu zero, a derivada aqui deu zero
e a derivada aqui deu não definida, que é a mesma coisa que dizer
que é indefinida. E estes pontos onde a derivada
é igual a zero ou é indefinida são chamados de pontos críticos. Com isso, os pontos críticos dessa
função são: x₀, que é quando a derivada
da função é igual a zero, x₁, que também tem uma
derivada igual a zero, e x₂, onde a derivada é indefinida. E aí, eu te pergunto: sabendo disso, para encontrar
o máximo ou mínimo, nós devemos descobrir se a derivada
naquele ponto é igual a zero ou se a derivada é indefinida? Para entender isso, vamos pensar
em um ponto mais ou menos aqui que tem uma coordenada x₃. Se nós pensarmos na reta
tangente a este ponto, parece que a derivada
de x₃ é igual a zero. E baseado na nossa definição, x₃ seria um ponto crítico, mas se você olhar para ele,
não parece ser máximo ou mínimo. Ou seja, ser um ponto crítico não necessariamente significa
ser máximo ou mínimo. Com isso, consideramos somente estes três
como máximos ou mínimos. E este aqui é um ponto crítico, mas não é nem mínimo, nem máximo. E, no próximo vídeo, você vai aprender a diferenciar isso. Ou seja, você vai aprender a descobrir quando existe o ponto mínimo ou máximo
em um ponto crítico. E eu espero que esta aula
tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!