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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 5
Lição 4: Como usar o teste da primeira derivada para encontrar os extremos relativos (locais)- Introdução a pontos de máximo e de mínimo
- Cálculo de extremos relativos (teste da derivada de primeira ordem)
- Exemplo: encontrando pontos extremos
- Análise de erros no cálculo de pontos extremos (exemplo 1)
- Análise de erros no cálculo de pontos extremos (exemplo 2)
- Cálculo de extremos relativos (teste da derivada de primeira ordem)
- Mínimos e máximos relativos
- Revisão de mínimos e máximos relativos
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Cálculo de extremos relativos (teste da derivada de primeira ordem)
O teste da derivada de primeira ordem é o processo de análise de funções usando a derivada de primeira ordem de forma a encontrar os seus pontos extremos. Isso envolve diversos passos, então precisamos descompactar esse processo de uma forma que ajude a evitar omissões ou erros prejudiciais.
E se nós lhe disséssemos que dada a equação da função, você pode encontrar todos os seus pontos mínimos e máximos? É verdade! Este processo é chamado de teste da derivada de primeira ordem. Vamos desenvolvê-lo de uma maneira que ele ajude a evitar erros ou omissões que podem prejudicá-lo.
Exemplo: como encontrar os pontos de extremo relativos de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, squared, divided by, x, minus, 1, end fraction
Etapa 1: calcular f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
Para encontrar os pontos de extremo relativos de f, devemos usar f, prime. Então, começamos calculando a derivada de f:
Etapa 2: calcular todos os pontos críticos e todos os pontos nos quais f é indefinida.
Os pontos críticos de uma função f são os valores de x, dentro do domínio de f, para os quais f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 ou nos quais f, prime é indefinida. Além disso, devemos procurar pontos nos quais a função f em si é indefinida.
O importante sobre esses pontos é lembrar que o sinal de f, prime deve permanecer o mesmo entre dois pontos consecutivos.
No nosso caso, esses pontos são x, equals, 0, x, equals, 1 e x, equals, 2.
Etapa 3: analisar intervalos de crescimento ou decrescimento
Isso pode ser feito de várias maneiras, mas gostamos de usar uma tabela de sinais. Em uma tabela de sinais, pegamos um valor de teste em cada intervalo delimitado pelos pontos calculados na Etapa 2 e verificamos o sinal da derivada naquele valor.
Esta é a tabela de sinais da nossa função:
| Intervalo | Valor de x do teste | f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis | Conclusão |
|---|---|---|---|
| left parenthesis, minus, infinity, comma, 0, right parenthesis | x, equals, minus, 1 | f, prime, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, equals, 0, comma, 75, is greater than, 0 | f é crescente \nearrow |
| left parenthesis, 0, comma, 1, right parenthesis | x, equals, 0, comma, 5 | f, prime, left parenthesis, 0, comma, 5, right parenthesis, equals, minus, 3, is less than, 0 | f é decrescente \searrow |
| left parenthesis, 1, comma, 2, right parenthesis | x, equals, 1, comma, 5 | f, prime, left parenthesis, 1, comma, 5, right parenthesis, equals, minus, 3, is less than, 0 | f é decrescente \searrow |
| left parenthesis, 2, comma, infinity, right parenthesis | x, equals, 3 | f, prime, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, 0, comma, 75, is greater than, 0 | f é crescente \nearrow |
Etapa 4: encontrar pontos de extremo
Agora que sabemos os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente, podemos encontrar seus pontos de extremo. Um ponto de extremo é um ponto em que f é definida e f, prime muda de sinal.
Em nosso caso:
- f é crescente antes de x, equals, 0, decrescente depois desse valor e, definida em x, equals, 0. Então, f tem um ponto máximo relativo em x, equals, 0.
- f é decrescente antes de x, equals, 2, crescente depois desse valor e, definida em x, equals, 2. Então, f tem um ponto mínimo relativo em x, equals, 2.
- f é indefinida em x, equals, 1, portanto ela não tem um ponto de extremo ali.
Erro comum: não conferir os pontos críticos
Lembrete: não devemos presumir que qualquer ponto crítico é um ponto de extremo. Em vez disso, devemos verificar os pontos críticos para ver se a função é definida nesses pontos e se a derivada muda de sinal nesses pontos.
Erro comum: não incluir pontos nos quais a derivada é indefinida
Lembrete: quando analisamos intervalos crescentes e decrescentes, devemos procurar todos os pontos nos quais a derivada é igual a zero e todos os pontos nos quais a função ou sua derivada é indefinida. Se você se esquecer de encontrar algum desses pontos, provavelmente terminará com uma tabela de sinais incorreta.
Erro comum: esquecer de verificar o domínio da função
Lembrete: depois de encontrar pontos nos quais a função muda de direção, é preciso verificar se a função é definida nesses pontos. Caso contrário, esse ponto não será um extremo relativo.
Pratique aplicar o teste da derivada de primeira ordem
Quer praticar mais? Tente este exercício.
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