If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal

Cálculo de extremos relativos (teste da derivada de primeira ordem)

O teste da derivada de primeira ordem é o processo de análise de funções usando a derivada de primeira ordem de forma a encontrar os seus pontos extremos. Isso envolve diversos passos, então precisamos descompactar esse processo de uma forma que ajude a evitar omissões ou erros prejudiciais.
E se nós lhe disséssemos que dada a equação da função, você pode encontrar todos os seus pontos mínimos e máximos? É verdade! Este processo é chamado de teste da derivada de primeira ordem. Vamos desenvolvê-lo de uma maneira que ele ajude a evitar erros ou omissões que podem prejudicá-lo.

Exemplo: como encontrar os pontos de extremo relativos de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, squared, divided by, x, minus, 1, end fraction

Etapa 1: calcular f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
Para encontrar os pontos de extremo relativos de f, devemos usar f, prime. Então, começamos calculando a derivada de f:
f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, squared, minus, 2, x, divided by, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared, end fraction
Etapa 2: calcular todos os pontos críticos e todos os pontos nos quais f é indefinida.
Os pontos críticos de uma função f são os valores de x, dentro do domínio de f, para os quais f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 ou nos quais f, prime é indefinida. Além disso, devemos procurar pontos nos quais a função f em si é indefinida.
O importante sobre esses pontos é lembrar que o sinal de f, prime deve permanecer o mesmo entre dois pontos consecutivos.
No nosso caso, esses pontos são x, equals, 0, x, equals, 1 e x, equals, 2.
Etapa 3: analisar intervalos de crescimento ou decrescimento
Isso pode ser feito de várias maneiras, mas gostamos de usar uma tabela de sinais. Em uma tabela de sinais, pegamos um valor de teste em cada intervalo delimitado pelos pontos calculados na Etapa 2 e verificamos o sinal da derivada naquele valor.
Esta é a tabela de sinais da nossa função:
IntervaloValor de x do testef, prime, left parenthesis, x, right parenthesisConclusão
left parenthesis, minus, infinity, comma, 0, right parenthesisx, equals, minus, 1f, prime, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, equals, 0, comma, 75, is greater than, 0f é crescente \nearrow
left parenthesis, 0, comma, 1, right parenthesisx, equals, 0, comma, 5f, prime, left parenthesis, 0, comma, 5, right parenthesis, equals, minus, 3, is less than, 0f é decrescente \searrow
left parenthesis, 1, comma, 2, right parenthesisx, equals, 1, comma, 5f, prime, left parenthesis, 1, comma, 5, right parenthesis, equals, minus, 3, is less than, 0f é decrescente \searrow
left parenthesis, 2, comma, infinity, right parenthesisx, equals, 3f, prime, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, 0, comma, 75, is greater than, 0f é crescente \nearrow
Etapa 4: encontrar pontos de extremo
Agora que sabemos os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente, podemos encontrar seus pontos de extremo. Um ponto de extremo é um ponto em que f é definida e f, prime muda de sinal.
Em nosso caso:
  • f é crescente antes de x, equals, 0, decrescente depois desse valor e, definida em x, equals, 0. Então, f tem um ponto máximo relativo em x, equals, 0.
  • f é decrescente antes de x, equals, 2, crescente depois desse valor e, definida em x, equals, 2. Então, f tem um ponto mínimo relativo em x, equals, 2.
  • f é indefinida em x, equals, 1, portanto ela não tem um ponto de extremo ali.
Problema 1
Júnior tinha que encontrar onde f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, cubed, plus, 18, x, squared, plus, 54, x, plus, 50 tinha um ponto de extremo relativo. Esta foi sua resposta:
Etapa 1: f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 6, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, squared
Etapa 2: a solução de f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 é x, equals, minus, 3.
Etapa 3: f tem um ponto de extremo relativo em x, equals, minus, 3.
A resposta de Júnior está correta? Se não, que erro ele cometeu?
Escolha 1 resposta:

Erro comum: não conferir os pontos críticos

Lembrete: não devemos presumir que qualquer ponto crítico é um ponto de extremo. Em vez disso, devemos verificar os pontos críticos para ver se a função é definida nesses pontos e se a derivada muda de sinal nesses pontos.
Problema 2
Helen deve descobrir se g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, squared, minus, 1, right parenthesis, start superscript, 2, slash, 3, end superscript tem um máximo relativo. Esta foi sua solução:
Etapa 1: g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 4, x, divided by, 3, cube root of, x, squared, minus, 1, end cube root, end fraction
Etapa 2: o ponto crítico é x, equals, 0.
Etapa 3:
IntervaloTeste do valor de xg, prime, left parenthesis, x, right parenthesisConclusão
left parenthesis, minus, infinity, comma, 0, right parenthesisx, equals, minus, 3g, prime, left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, equals, minus, 2, is less than, 0g é decrescente \searrow
left parenthesis, 0, comma, infinity, right parenthesisx, equals, 3g, prime, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, 2, is greater than, 0g é crescente \nearrow
Etapa 4: g é decrescente antes de x, equals, 0 e crescente depois disso, então existe um mínimo relativo em x, equals, 0 e nenhum máximo relativo.
A resolução de Helen está correta? Se não, qual foi seu erro?
Escolha 1 resposta:

Erro comum: não incluir pontos nos quais a derivada é indefinida

Lembrete: quando analisamos intervalos crescentes e decrescentes, devemos procurar todos os pontos nos quais a derivada é igual a zero e todos os pontos nos quais a função ou sua derivada é indefinida. Se você se esquecer de encontrar algum desses pontos, provavelmente terminará com uma tabela de sinais incorreta.
Problema 3
Jacó deve descobrir se h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, plus, start fraction, 1, divided by, x, squared, end fraction tem um máximo relativo. Esta foi sua solução:
Etapa 1: h, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 2, left parenthesis, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 1, right parenthesis, divided by, x, cubed, end fraction
Etapa 2: os pontos críticos são x, equals, minus, 1 e x, equals, 1, e h é indefinida em x, equals, 0.
Etapa 3:
IntervaloTeste do valor de xh, prime, left parenthesis, x, right parenthesisConclusão
left parenthesis, minus, infinity, comma, minus, 1, right parenthesisx, equals, minus, 2h, prime, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, equals, minus, 3, comma, 75, is less than, 0h é decrescente \searrow
left parenthesis, minus, 1, comma, 0, right parenthesisx, equals, minus, 0, comma, 5h, prime, left parenthesis, minus, 0, comma, 5, right parenthesis, equals, 15, is greater than, 0h é crescente \nearrow
left parenthesis, 0, comma, 1, right parenthesisx, equals, 0, comma, 5h, prime, left parenthesis, 0, comma, 5, right parenthesis, equals, minus, 15, is less than, 0h é decrescente \searrow
left parenthesis, 1, comma, infinity, right parenthesisx, equals, 2h, prime, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, 3, comma, 75, is greater than, 0h é crescente \nearrow
Etapa 4: h é crescente antes de x, equals, 0 e decrescente depois disso, então h tem um ponto máximo em x, equals, 0.
Os cálculos de Jacó estão corretos? Se não, que erro ele cometeu?
Escolha 1 resposta:

Erro comum: esquecer de verificar o domínio da função

Lembrete: depois de encontrar pontos nos quais a função muda de direção, é preciso verificar se a função é definida nesses pontos. Caso contrário, esse ponto não será um extremo relativo.

Pratique aplicar o teste da derivada de primeira ordem

Problema 4
Seja f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 6, x, squared, minus, 15, x, plus, 2.
f tem um máximo relativo para quais valores de x?
Escolha 1 resposta:

Problema 5
Seja g uma função polinomial e g, prime sua derivada, definida como g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, squared.
Em quantos pontos o gráfico de g tem um máximo relativo?
Escolha 1 resposta:

Quer praticar mais? Tente este exercício.

Quer participar da conversa?

Nenhuma postagem por enquanto.
Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.