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Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 5

Lição 4: Como usar o teste da primeira derivada para encontrar os extremos relativos (locais)

Revisão de mínimos e máximos relativos

Faça uma revisão de como usar o cálculo diferencial para encontrar pontos extremos (de mínimo e de máximo) relativos.

Como usar o cálculo diferencial para encontrar pontos máximos e mínimos?

Um ponto máximo relativo é um ponto onde a função muda sua direção de crescente para decrescente (fazendo desse ponto um "pico" no gráfico).

De modo similar, um ponto mínimo relativo é um ponto onde a função muda sua direção de decrescente para crescente (fazendo desse ponto um "vale" no gráfico).

Supondo que você já saiba encontrar os intervalos crescentes e decrescentes de uma função, encontrar um ponto extremo relativo envolve mais um passo: determinar os pontos onde a função muda de direção.

Quer aprender mais sobre extremos relativos e cálculo diferencial? Confira este vídeo.

Exemplo

Vamos encontrar os pontos extremos relativos de

f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 7

. Primeiro, derivamos

f

f^{'} (x) = 3 (x + 3) (x - 1)

Nossos pontos críticos são

x = - 3

x = 1

Vamos avaliar

f^{'}

em cada intervalo para ver se ela é positiva ou negativa nesse intervalo.

Intervalo	valor de $x$ ‍	$f^{'} (x)$ ‍	Conclusão
$x < - 3$ ‍	$x = - 4$ ‍	$f^{'} (- 4) = 15 > 0$ ‍	$f$ ‍ é crescente. $↗$ ‍
$- 3 < x < 1$ ‍	$x = 0$ ‍	$f^{'} (0) = - 9 < 0$ ‍	$f$ ‍ é decrescente. $↘$ ‍
$x > 1$ ‍	$x = 2$ ‍	$f^{'} (2) = 15 > 0$ ‍	$f$ ‍ é crescente. $↗$ ‍

Agora vamos examinar nossos pontos críticos:

$x$ ‍	Antes	Depois	Conclusão
$- 3$ ‍	$↗$ ‍	$↘$ ‍	Máximo
$1$ ‍	$↘$ ‍	$↗$ ‍	Mínimo

Concluindo, a função tem um ponto máximo em $x = - 3$ ‍ e um ponto mínimo em $x = 1$ ‍.

Teste seu conhecimento

Problema 1

h (x) = - x^{3} + 3 x^{2} - 4

$h$ ‍ tem um máximo relativo para qual valor de $x$ ‍?

Quer resolver outros problemas como este? Confira este exercício.

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