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Análise de erros no cálculo de pontos extremos (exemplo 2)

Análise dos cálculos de alguém que tentou encontrar os pontos extremos de uma função para verificar se há algum erro.

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Transcrição de vídeo

RKA4JL - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo vamos resolver um exercício sobre erros ao encontrar extremos. Esse exercício diz o seguinte: Eduardo foi convidado a descobrir se f(x) igual a (x² menos 1) elevado a ⅔ tem um máximo relativo. Essa aqui é a solução que Eduardo encontrou. Aqui nós temos todas as etapas da solução dele. Depois dessas etapas, a questão pergunta se o trabalho de Eduardo está correto. A questão também pede para identificar o erro caso a resposta dele não esteja correta. Faça uma pausa neste vídeo e veja se você consegue descobrir isso sozinho ou sozinha. E então, fez? Vamos fazer juntos aqui agora? Eduardo está correto ou ele cometeu um erro? E se cometeu, onde está esse erro? Aqui diz que essa é a derivada. Vamos calcular aqui do lado a derivada para ver se Eduardo acertou essa primeira etapa. Vamos ver. f'(x) vai ser igual a... Aqui a gente aplica a regra da cadeia. Eu calculo a derivada do que está aqui do lado de fora em relação ao que está do lado de dentro. Sendo assim, isso aqui vai ser igual a ⅔ vezes... Colocamos aqui dentro dos parênteses (x² menos 1). Isso elevado a ⅔ menos 1, que é igual a -⅓. Então a gente multiplica isso aqui pela derivada do que está dentro. A derivada de (x² menos 1) é 2x. Parece que ele fez a derivada certa, porque multiplicando 2 por 2x a gente vai ter 4x. Aqui como temos (x² menos 1) elevado a -⅓, podemos colocar isso aqui no denominador. Teremos 3 vezes (x² menos 1) elevado a ⅓, que é a mesma coisa que 3 vezes a raiz cúbica de (x² menos 1). Então isso aqui está certinho. De fato é a derivada. Agora vem a etapa dois: o ponto crítico está em x igual a zero? Vamos ver. Um ponto crítico é onde nossa primeira derivada é igual a zero ou é indefinida. Olhando aqui, realmente parece que f'(0) é um ponto crítico porque teremos aqui 4 vezes zero, que é zero, sobre 3 vezes a raiz cúbica de (zero menos 1), ou seja, raiz cúbica de -1. Então no denominador temos 3 vezes -1, que é -3. Assim temos zero sobre -3, que de fato é igual a zero. Então isso aqui é verdade. Um ponto crítico está em x igual a zero. Mas a questão é: esse é o único ponto crítico? Um ponto crítico, conforme mencionamos, é onde a função é igual a zero ou onde é indefinida. Este aqui é o único ponto onde a função é igual a zero, mas você pode encontrar algum valor para x onde a função é indefinida? Se a gente observar a derivada, percebemos que não podemos ter zero no denominador e o que faria o denominador da derivada ser igual a zero? Se x² menos 1 for igual a zero teremos a raiz cúbica de zero, e com isso vamos obter zero no denominador. Então o que tornaria x² menos 1 igual a zero? Se x for igual a ±1. Então esses aqui também são pontos críticos, porque eles fazem f'(x) ser indefinida. Sendo assim, eu não estou me sentindo muito bem quanto a esse segundo passo. É verdade que x igual a zero é um ponto crítico, mas não é o único ponto crítico. Então eu vou marcar isso desse jeito. Você pode me perguntar: "qual é o problema em eu não perceber esses pontos críticos?" Eduardo identificou um e talvez esse seja o ponto máximo relativo, mas é importante encontrar os outros pontos. Como a gente já falou aqui em outros vídeos, nós realizamos o primeiro teste da derivada, por assim dizer, para encontrar esse lugar onde a primeira derivada é zero. E então, a fim de testar se é um máximo ou um ponto de mínimo, você tem que testar valores ao redor desse ponto para ter certeza de que temos uma mudança no sinal da derivada. Só que você tem que ter certeza de que quando está testando um ponto ao redor de um ponto crítico você não esteja indo além do outro ponto crítico, porque pontos críticos são lugares onde podemos ter uma mudança de direção. Então vamos ver o que ele fez aqui na etapa três. Inicialmente temos algo aparentemente correto, afinal ele está testando os valores que estão em ambos os lados do ponto crítico que ele identificou. Temos aqui um x igual a -3 e um x igual a 3. Mas o problema aqui, e a razão pela qual isso é um pouco estranho, é que esses valores estão além de outros pontos críticos. O -3 realmente é menor que zero, mas está antes do -1, que também é um ponto crítico e o 3 positivo realmente é maior que zero, mas está depois do 1, que é outro ponto crítico. Mas enfim, conhecendo os pontos críticos ele pode fazer um teste e fazer esse teste com -2, -1, -½, zero, ½, 1, inclusive a gente já sabe que aqui temos uma indefinição nesse ponto. Assim, depois colocamos 2 positivo aqui também. Temos aqui esse valor sendo um ponto crítico, um candidato ao ponto extremo, esse também é o candidato a ponto extremo e esse aqui também é candidato ao ponto extremo. Fazendo isso podemos ver em qual dessas situações temos uma mudança de sinal da derivada. O legal é que precisamos apenas testar nos intervalos entre os pontos extremos. Mas enfim, nem é o objetivo aqui agora. Respondendo à pergunta da questão, eu diria que o principal erro que Eduardo cometeu está na etapa dois, afinal ele não identificou todos os pontos críticos para depois seguir para a etapa três. Bem meu amigo ou minha amiga, eu só vou fazer até aqui porque esse é o objetivo do nosso problema. Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho o que a gente viu aqui e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!