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Exemplo: encontrando pontos extremos

Neste vídeo, determinamos o ponto de máximo relativo de g(x)=x⁴-x⁵ analisando os intervalos nos quais sua derivada, g', é negativa ou positiva.

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Transcrição de vídeo

RKA4JL - Seja a função real g(x) definida por g(x) igual a x⁴ menos x⁵. Para quais valores de x a função g tem um valor de máximo local? Vamos nos lembrar de como achar esse valor de máximo. Vou fazer aqui um desenho aleatório de um gráfico de uma função qualquer. Então os máximos locais vão acontecer... Visualmente você nota esse ponto aqui. É um ponto de máximo local, há outro aqui e outro aqui. Para existir o máximo local, podemos observar que o gráfico da função vai crescente até o ponto de máximo e depois ele se torna decrescente. Então quando tem essa mudança de crescente para decrescente nós sabemos que temos ali um ponto de máximo local, como aqui nestes três pontos. Isso se traduz no fato de que a primeira derivada da função passe de positiva para negativa. Então olhando nesse primeiro intervalo, a derivada de g seria positiva. Neste próximo intervalo em que a função g é decrescente, a derivada, então, seria negativa. Vamos escrever aqui que para obter o máximo local o que nós estamos procurando é saber quando a derivada primeira da função g muda de positiva para negativa e os valores que nos encontrarmos para isso são chamados "pontos críticos". Esses pontos críticos acontecem quando a derivada primeira de g é zero ou indefinida. Vamos, então, estudar a situação em que g'(x) é igual a zero. A derivada fica 4x³ menos 5x⁴ e queremos que essa expressão seja igual a zero. Temos uma equação e nela podemos colocar x³ em evidência. Fatorando-a ficamos com x³ vezes (4 menos 5x) e isso tudo igual a zero. Agora, para resolver essa equação em que um produto, uma multiplicação é igual a zero, concluímos que x³ é igual a zero ou 4 menos 5x é igual a zero. Temos duas equações, na verdade, para resolver. x³ igual a zero nos dá de imediato que x é igual a zero e em 4 menos 5x igual a zero ficamos com 4 igual a 5x, então x igual a 4/5. Temos aqui os dois valores de x em que temos pontos críticos, em que a derivada primeira da função g é igual a zero. Agora, há pontos em que a derivada primeira de g(x) está indefinida? Nós temos a função original definida por um polinômio e a sua derivada é também um polinômio. Nós sabemos que funções polinomiais são definidas para todos os números reais. Desta forma temos somente esses dois valores de x determinando o pontos críticos pela derivada primeira. Agora vamos analisar como que a função g', ou seja, a derivada de g, se comporta nos intervalos determinados pelos valores críticos que encontramos para x. Deixe-me colocar aqui uma reta numerada para estudar isso com facilidade. Nesta reta eu vou me importar com zero e ⅘. Temos o ponto crítico aqui onde x vale zero e temos um outro ponto crítico aqui onde x é ⅘. Agora vamos analisar o sinal dessa função g' nestes intervalos que temos aqui. Queremos ver onde acontece a mudança de sinal de g'. Vamos tomar primeiro o intervalo que vai de menos infinito até zero. Posso tomar qualquer valor de x desse intervalo e ver qual é o sinal obtido para g'(x). Vou experimentar -1, pois é fácil de fazer a conta. Então se x for -1, o valor de g'(x) vai ser (-1)³ vezes 4, ou seja, 4 vezes -1, menos 5 vezes (-1)⁴. (-1)⁴ é 1. Enfim, nós temos aqui -4 menos 5, que resulta em -9. Na verdade estou interessado em saber o sinal que g' assume nesse intervalo. E é negativo. Ou seja, nesse intervalo de menos e até zero g' tem sinal negativo. Isso indica que no intervalo de menos infinito até zero a nossa função original g é decrescente. Já podemos concluir que esse ponto crítico onde x igual a zero não é um ponto de máximo, porque para ser um ponto de máximo, a função tem que mudar de crescente para decrescente, e nós já sabemos que neste primeiro intervalo a função g é decrescente. Vamos olhar então para os outros intervalos. No intervalo de zero até ⅘ vamos escolher um número entre zero e ⅘, por exemplo ½. É fácil de fazer a conta. Calculando g'(½), nós vamos ter 4 vezes (½)³. (½)³ é ⅛, então teremos ⁴∕₈, que é simplesmente ½, menos 5 vezes x⁴, então (½)⁴, que é 1/16 (um dezesseis avos) vezes 5 ficamos com 5/16. Fazendo essa conta nós temos 8/16 menos 5/16 que resulta em 3/16. Na verdade eu só queria saber se esse resultado é positivo ou negativo e nós vemos aqui que ele é positivo. Então neste intervalo de zero até ⅘ nós já temos certeza de que g'(x) é positiva. Isso significa que g(x) nesse intervalo é uma função crescente. Vamos olhar para o último intervalo, ou seja, quando x é maior que ⅘. Vamos tomar um valor para x que seja maior que ⅘, por exemplo o número 1. Vamos ver o valor então do g'(1). 4 vezes 1³, que é 4, menos 5 vezes 1⁴, que vai dar 5. Então aqui temos -1 para o valor do g' quando x vale 1, ou seja, nesse terceiro intervalo quando x é maior que ⅘, nós já sabemos que g' é negativa. A consequência disso é que a função g é decrescente. Resumindo, no primeiro intervalo a nossa função é decrescente, no segundo intervalo a função g é crescente e no terceiro intervalo a função g é decrescente. Agora, a pergunta: em qual ponto crítico nós estamos tendo a mudança da função g de crescente para a decrescente? Isso acontece, podemos ver, quando x vale ⅘. À esquerda dele a função é crescente e depois dele a função é decrescente. Portanto, quando x é igual a ⅘, nós temos um ponto de máximo local para a função g. E se a pergunta fosse "qual é o valor de mínimo local"? Nós procuraríamos o ponto crítico em que a função g passa de decrescente para crescente, mas nós já respondemos à pergunta do problema e encerramos por aqui. Até o próximo vídeo!