Cálculo de extremos relativos (teste da derivada de primeira ordem)

RKA3JV - No último vídeo, nós observamos o gráfico aqui desta função e identificamos os pontos máximos, mínimos e os pontos críticos. E nós chegamos à conclusão, inclusive, que quando nós temos um ponto de máximo e mínimo, este ponto vai ser um ponto crítico. E a gente pode até escrever isso aqui novamente. Nós teremos um valor de máximo ou mínimo para a função em "x = a". Isso significa dizer, então, que "x = a" vai ser um ponto crítico. Então, é um ponto crítico. Beleza, mas neste vídeo, eu quero partir desta ideia e a gente tentar encontrar uma definição um pouco mais geral utilizando a ideia da derivada. E para fazer isso, nós vamos observar novamente o que nós já vimos no vídeo passado. No vídeo passado, nós identificamos que este ponto era um ponto de máximo, certo? Ou seja, neste ponto, a função tinha um valor de máximo. Então, neste ponto em que a gente tem um "x = x₀", nós vamos ter um ponto de máximo. E se você observar bem, aqui neste ponto, neste ponto a gente tem uma derivada igual a zero. E isso faz todo o sentido, porque sempre que a gente tem uma derivada igual a zero ou uma derivada indeterminada, nós teremos um ponto crítico. Então, pelo fato da derivada neste ponto ser igual a zero, ou seja, a gente ter uma reta tangente com uma inclinação igual a zero, nós teremos aqui um ponto crítico. E, observando bem, conforme a gente já identificou no último vídeo, este ponto é um ponto de máximo. Ou seja, nós temos um valor máximo aqui neste ponto. Como que a gente pode relacionar essa informação com a ideia de derivada? Bem, já vimos que a derivada aqui é igual a zero, certo? Afinal de contas, se trata de um ponto crítico. Se a gente observar antes deste ponto, à medida que a gente vai se aproximando aqui deste ponto x₀, a nossa derivada vai ficando cada vez menos positiva, mas ela ainda é positiva. Então, nós começamos com uma derivada positiva aqui, uma inclinação positiva. E à medida que a gente se aproxima deste ponto, a derivada vai ficando cada vez menos positiva até chegar a zero. Então, antes deste ponto, nós vamos ter uma derivada positiva. Então, a derivada da função, antes deste ponto crítico, é positiva. Aí, a derivada fica igual a zero neste ponto. E depois que a gente passa deste ponto, a derivada vai ficando cada vez mais negativa, a inclinação da reta tangente vai ficando cada vez mais inclinada para baixo. Ou seja, cada vez mais negativa. Então, depois deste ponto, a gente vai ter uma derivada negativa. Então, a derivada da função, depois deste ponto aqui, vai ser menor que zero. Ou seja, negativa. Bem, quais são as conclusões que a gente pode tirar a respeito destas informações? Primeiro, a gente tem o ponto crítico aqui, certo? Afinal de contas a derivada é igual a zero neste ponto x₀. Antes deste ponto a nossa derivada é positiva, e depois deste ponto, a nossa derivada é negativa. Então, a gente pode dizer que, vamos escrever essa informação. Supondo que a gente tenha um ponto crítico em "a". Este ponto crítico vai ser um ponto de máximo, quando, conforme observamos aqui, a gente tem um valor máximo. A nossa função não tem um valor máximo aqui? Um valor máximo local, neste caso, tudo bem. Mas é um valor máximo. Antes deste valor máximo, a gente tinha uma derivada sendo positiva e depois deste ponto, a gente tinha uma derivada sendo negativa. Então, para este ponto crítico ser um ponto de máximo, a gente vai ter uma mudança de sinal da derivada do positivo para o negativo. A derivada aqui é positiva e vai se tornando cada vez menos positiva até chegar neste ponto que é zero. E aí, depois deste ponto, a derivada fica negativa, e cada vez mais negativa. Então, este ponto vai ser um ponto de máximo. Ou seja, nós vamos ter um ponto de máximo quando a derivada troca de sinal de positivo para negativo, quando atravessamos o ponto "x = a". Então, foi isso que a gente fez aqui. A gente atravessou este ponto "x = x₀" neste caso, e ao atravessar este ponto, a derivada mudou de sinal de positivo para o negativo. Então, essa daqui é a definição de um ponto crítico em que este ponto crítico é um ponto de máximo. Bem, nós identificamos aqui, também, que este outro ponto é um ponto de máximo, certo? Vamos ver se a definição se aplica a este ponto. A gente tem aqui uma derivada positiva. E quando a gente atravessa este ponto, nós vamos encontrar derivadas negativas com a inclinação sendo negativa. Por mais que este ponto seja um ponto de indeterminação, este ponto atende a este critério. Ao atravessar este ponto "x" aqui, a derivada está mudando de sinal do positivo para o negativo. Então, por isso, nós temos aqui um ponto de máximo. Vamos observar se este ponto que nós identificamos também na aula passada, atende a este critério? Bem, neste caso, não vai atender a este critério, porque aqui a gente tem uma derivada negativa. E depois deste ponto a gente continua tendo uma derivada negativa. Por mais que neste ponto a derivada seja igual a zero, a gente vai ter uma derivada negativa. Neste ponto fica igual a zero, e depois volta a ficar negativo. Então, isso aqui não é um ponto de máximo. No vídeo passado, nós também identificamos este ponto, mas este ponto aqui não era um ponto de máximo e sim um ponto de mínimo. Conforme a gente consegue até observar isso aqui graficamente. Vamos chamar este ponto aqui de x₁. Já que este é x₀, este daqui vai ser x₁, este daqui vai ser x₂, e este daqui vai ser x₃. O ponto x₀ e o ponto x₂ são pontos de máximo, já que atende a este critério. Este ponto x₃ não atende a este critério. Então, ele não é um ponto de máximo. Mas este ponto x₁ é um ponto de mínimo. E vamos ver o que está acontecendo aqui. À medida que a gente se aproxima do x₁, a gente vai encontrar derivadas negativas. Essa derivada é negativa, mas vai se tornar cada vez menos negativa, até chegar neste ponto. E aqui neste ponto, a derivada é igual a zero, que, inclusive, se trata de um ponto crítico. Então, antes de passar por este ponto, a gente vai ter uma derivada sendo negativa. Ou seja, menor que zero. E aí, depois que a gente passa por este ponto, a gente vai encontrar inclinações de reta tangente sendo positivas. Ou seja, derivadas positivas. Então, depois que a gente atravessa o ponto x₁, a derivada da função se torna positiva. O que nós podemos concluir a partir disso? Que sempre que a gente tem um ponto crítico, em que, neste ponto crítico, a derivada da função está trocando de sinal do negativo para o positivo, nós vamos ter um ponto de mínimo. Então, nós podemos dizer que nós temos um ponto de mínimo quando a derivada da função, ou seja, f'(x) troca de sinal de negativo para positivo quando atravessamos "x = a", que é o que aconteceu aqui, quando a gente atravessou este ponto x₁. A derivada da função trocou de sinal do negativo para o positivo, quando a gente atravessou este ponto x₁. Agora, será que este ponto x₃ seria um ponto de mínimo? Não, porque conforme a gente viu aqui, a derivada era negativa. A gente atravessou o ponto e aí ela voltou a ser negativa. Então, não houve uma troca de sinal. Então, este ponto aqui não é um ponto de mínimo e nem um ponto de máximo, apesar de ser um ponto crítico. Então, estas são as definições de ponto de máximo e mínimo, a partir da ideia de derivada. Este ponto crítico sempre vai ser um ponto de máximo quando a derivada da função trocar o sinal de positivo para o negativo. E vai ser um ponto de mínimo quando a derivada da função trocar de sinal do negativo para o positivo, neste ponto crítico, claro!