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Revisão de mínimos e máximos absolutos

Faça uma revisão de como usar o cálculo diferencial para encontrar pontos extremos (de mínimo e de máximo) absolutos.

Como usar cálculo diferencial para encontrar pontos máximos e mínimos absolutos?

O ponto de máximo absoluto é aquele onde a função atinge seu maior valor possível. Da mesma forma, o mínimo absoluto é o ponto onde a função atinge seu mínimo valor possível.
Supondo que você já saiba encontrar mínimos e máximos relativos, você só precisa de mais um passo para encontrar os pontos extremos absolutos (ou globais): considerar as extremidades nas duas direções.
Quer aprender mais sobre extremos absolutos e cálculo diferencial? Confira este vídeo.

Encontrando extremos absolutos em um intervalo fechado

O Teorema de Weierstrass diz que uma função contínua necessariamente tem valores mínimo e máximo absolutos em um intervalo fechado. Esses valores extremos são pontos máximos ou mínimos relativos dentro do intervalo, ou pontos nas extremidades do intervalo.
Vamos encontrar, por exemplo, o extremo absoluto de h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, cubed, plus, 3, x, squared, minus, 12, x no intervalo minus, 3, is less than or equal to, x, is less than or equal to, 3.
h, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 6, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, então nossos pontos críticos são x, equals, minus, 2 e x, equals, 1. Eles dividem o intervalo fechado minus, 3, is less than or equal to, x, is less than or equal to, 3 em três partes:
IntervaloValor de xh, prime, left parenthesis, x, right parenthesisVeredito
minus, 3, is less than, x, is less than, minus, 2x, equals, minus, start fraction, 5, divided by, 2, end fractionh, prime, left parenthesis, minus, start fraction, 5, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, equals, start fraction, 21, divided by, 2, end fraction, is greater than, 0h é crescente \nearrow
minus, 2, is less than, x, is less than, 1x, equals, 0h, prime, left parenthesis, 0, right parenthesis, equals, minus, 12, is less than, 0h é decrescente \searrow
1, is less than, x, is less than, 3x, equals, 2h, prime, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, 24, is greater than, 0h é crescente \nearrow
Agora nós examinamos os pontos críticos e os pontos extremos do intervalo:
xh, left parenthesis, x, right parenthesisAntesDepoisConclusão
minus, 39minus\nearrowMínimo
minus, 220\nearrow\searrowMáximo
1minus, 7\searrow\nearrowMínimo
345\nearrowminusMáximo
No intervalo fechado minus, 3, is less than or equal to, x, is less than or equal to, 3, os pontos left parenthesis, minus, 3, comma, 9, right parenthesis e left parenthesis, 1, comma, minus, 7, right parenthesis são mínimos relativos e os pontos left parenthesis, minus, 2, comma, 20, right parenthesis e left parenthesis, 3, comma, 45, right parenthesis são máximos relativos.
left parenthesis, 1, comma, minus, 7, right parenthesis é o menor mínimo relativo, então ele é o ponto mínimo absoluto, e left parenthesis, 3, comma, 45, right parenthesis é o maior máximo relativo, então é o ponto máximo absoluto.
Perceba que o valor do mínimo relativo é obtido dentro do intervalo e o máximo absoluto é obtido em um dos extremos.
Problema 1
  • Atual
f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, minus, 3, x, squared, plus, 12
Qual é o valor máximo absoluto de f no intervalo open bracket, minus, 2, comma, 4, close bracket?
Escolha 1 resposta:

Quer tentar resolver mais problemas como esse? Veja esse exercício.

Encontrando extremos absolutos em todo o domínio

Nem todas as funções têm um valor máximo ou mínimo absoluto em todo o seu domínio. Por exemplo, a função linear f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x não tem um mínimo ou máximo absoluto (seus valores podem ser tão altos ou tão baixos quanto quisermos).
No entanto, algumas funções têm de fato um extremo absoluto em todo o domínio. Vamos analisar, por exemplo, a função g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, e, start superscript, 3, x, end superscript.
g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, e, start superscript, 3, x, end superscript, left parenthesis, 1, plus, 3, x, right parenthesis, então o único ponto crítico é x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction.
IntervaloValor de xg, prime, left parenthesis, x, right parenthesisVeredito
left parenthesis, minus, infinity, comma, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, right parenthesisx, equals, minus, 1g, prime, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, equals, minus, start fraction, 2, divided by, e, cubed, end fraction, is less than, 0g é decrescente \searrow
left parenthesis, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, comma, infinity, right parenthesisx, equals, 0g, prime, left parenthesis, 0, right parenthesis, equals, 1, is greater than, 0g é crescente \nearrow
Vamos nos imaginar andando pelo gráfico de g, começando da extrema esquerda (de minus, infinity) e indo para a extrema direita (até plus, infinity).
Vamos começar descendo até chegarmos a x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction. Então, vamos subir infinitamente. Assim, g terá um ponto de mínimo absoluto em x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction. A função não terá um valor máximo absoluto.
Quer aprender mais sobre extremos absolutos em domínio completo? Confira este vídeo.
Problema 1
  • Atual
g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, x, end fraction
Qual é o valor máximo de g ?
Escolha 1 resposta:

Quer tentar resolver mais problemas como esse? Confira este exercício.

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