Mínimos e máximos absolutos (domínio completo)

[RKA20C] Nós temos aqui a função g(x) sendo igual a x² vezes o logaritmo natural de x. E o que nós queremos aqui, neste vídeo, é encontrar os extremos relativos e absolutos. No caso, quando o nosso extremo relativo se torna um extremo absoluto, nós também podemos chamá-lo de extremo global, que pode ser um ponto de mínimo ou um ponto de máximo, sendo um ponto de mínimo ou máximo relativo, ou sendo um ponto de mínimo ou máximo absoluto, que, como eu disse, podem ser pontos de mínimos ou máximos globais. Quando nós tivermos um ponto de mínimo em que não haja nenhum outro ponto menor do que este na função, esse ponto de mínimo vai ser o mínimo global. E o mesmo ocorre com o ponto de máximo. Então, vamos determinar estes extremos relativos aqui e identificar se tratam-se de pontos de máximos, mínimos, e se são pontos de máximos e mínimos apenas relativos ou absolutos. A primeira coisa que temos que fazer aqui ao observar essa função é nos preocupar com o domínio dessa função, ou seja, quais os valores de x que estão definidos para essa função. Neste caso, se a gente analisar o x², a gente pode atribuir qualquer valor do conjunto dos números reais. No entanto, quando a gente observa o logaritmo natural de x, o logaritmo natural de x só admite valores que são maiores que zero. A gente não pode atribuir nenhum valor ao x que seja ≤ 0. Então, o domínio da nossa função é para todos os valores em que x > 0. Todos os valores reais em que x > 0, ok? Então, nossa função está definida nesse domínio. Depois que observamos o domínio e já vimos para quais valores o x está definido, podemos encontrar a derivada para essa função, porque é a partir dessa derivada que nós vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, aqueles pontos em que podemos ter um ponto de máximo ou mínimo. Então, vamos lá! Vamos derivar essa função g(x). A derivada de g(x), ou seja, g'(x), é igual à derivada de x² vezes o logaritmo natural de x. E qual é a derivada dessa expressão? Para derivar essa expressão, a gente precisa utilizar a regra do produto. Que é como? A gente vai derivar a primeira expressão, multiplicar pela segunda e, depois, somar com a primeira expressão vezes a derivada da segunda parte, aqui. Então, inicialmente, vamos ter que derivar x², a derivada de x² é igual a 2x, e multiplicar isso pelo logaritmo natural de x. Em seguida, a gente vai somar com x² vezes a derivada do logaritmo natural de x, que é 1/x. Assim, nós vamos ter x² vezes 1/x, que é apenas igual a x. Então, a gente pode apagar toda esta parte aqui e ficar apenas com x. Então, esta aqui é a derivada de g(x), ou seja, g'(x), beleza? Ok, agora que já derivamos, para encontrarmos os pontos críticos, precisamos encontrar os pontos em que essa derivada ou é igual a zero ou é indefinida. Vamos fazer a primeira parte, que é encontrar os pontos em que a derivada é igual a zero. Para encontrar os pontos críticos, nós vamos dizer que 2x vezes ln(x) + x = 0. O que podemos fazer agora é subtrair por x dos dois lados desta expressão, certo? Assim, nós vamos ter 2x vezes ln(x)... x - x = 0, sobra apenas isto aqui deste lado. E 0 - x = -x. Agora, como nosso objetivo é encontrar este x aqui, nós podemos dividir por 2x dos dois lados desta expressão. Assim, deste lado esquerdo, vai sobrar apenas o ln(x), o logaritmo natural de x, e, deste lado aqui, a gente vai ter -x dividido por 2x. -x/2x = -1/2. Então, temos que o logaritmo natural de x é igual a 1/2. Como o nosso objetivo é encontrar o valor de x, a gente pode aplicar o exponencial dos dois lados desta equação. Assim, nós vamos ter eˡⁿ⁽ˣ⁾, isso sendo igual a e⁻¹/². O eˡⁿ⁽ˣ⁾ é igual ao próprio x, já que todas as vezes em que a gente tem eˡⁿ de alguma coisa, isso vai ser igual a essa coisa. E isto aqui vai ser igual e⁻¹/², que é igual a 1 sobre a raiz quadrada de e. Então, este aqui é o valor de x que satisfaz esta igualdade, ou seja, o valor no qual a derivada de g(x) é igual a zero. Então, já encontramos um ponto crítico. Será que existe algum outro ponto crítico? Para encontrar um possível outro ponto crítico, temos que encontrar valores em que essa derivada não seja definida. Bem, podemos atribuir qualquer valor para x, e o mesmo se aplica a 2x, mas, quando observamos este ln(x)... O ln(x) só admite valores para x em que x > 0. Então, não podemos usar valores que sejam menores que zero. No entanto, já colocamos essa limitação aqui em cima, na função, certo? Nós só vamos ter valores aqui que são maiores que zero. Então, no intervalo em que x > 0 até o infinito, nós não vamos ter nenhum ponto de indefinição. Então, o único ponto crítico nesse intervalo, ou seja, no intervalo no nosso domínio, é x = 1 sobre a raiz de e. Agora que já temos esse ponto crítico, podemos avaliar valores antes e depois e, com isso, saber se a função está decrescendo ou crescendo antes e depois desse ponto para, então, dizer se esse ponto é um ponto de máximo ou mínimo. Para fazer isso, sempre gosto de utilizar uma reta dos números reais. Então, vamos colocar essa reta aqui, em que o x está crescendo para lá. A gente vai ter aqui: -1, 0, 1 e 2. A gente poderia até colocar outros valores, mas vamos trabalhar só com este intervalo aqui. O nosso x, ou seja, o nosso ponto crítico, x = 1 sobre a raiz quadrada de e, é igual a quanto? Podemos pegar a calculadora para fazer esse cálculo: 1 dividido, abro parênteses, raiz quadrada... O número e é aproximadamente 2,7, então, vamos só colocar um valor aproximado aqui. Isso vai ser aproximadamente 0,61. É só para termos uma aproximação. Então, esse ponto x fica mais ou menos aqui. Aqui, nós vamos ter 1 sobre a raiz quadrada de e, ok? Esse é o nosso ponto crítico, vamos avaliar valores antes e depois dele. Então, vamos avaliar este intervalo, que vai de 0 até este ponto, 1 sobre a raiz quadrada de e. Afinal de contas, o nosso domínio está definido apenas em valores que são maiores que zero. Então, a gente não tem nenhum valor aqui em x = 0, são apenas valores maiores, até esse ponto x = 1 sobre a raiz quadrada de e. Então, vai ser este intervalo aqui. Para avaliar esse intervalo, a gente pode pegar nossa derivada, calcular para algum ponto dentro desse intervalo, e aí ver se essa derivada vai ser positiva ou negativa. Se a derivada for positiva, significa que a função está crescendo neste intervalo. Se a derivada for negativa, significa que a função está decrescendo nesse intervalo. Então, vamos fazer isso aqui, a gente vai pegar g'(x), em que x é algum valor dentro desse intervalo... A gente pode utilizar como exemplo 0,1. Isso vai ser igual a 2 vezes 0,1 vezes o logaritmo natural de 0,1, mais 0,1. 2 vezes 0,1 = 0,2, certo? Então, 2 vezes 0,1 = 0,2, vezes ln(0,1). Quanto vale o ln(0,1)? Bem, já sabemos que logaritmos naturais para valores entre 0 e 1 são negativos. Então, isto aqui vai ter como resposta um valor negativo. Mas, quanto vai ser? Bem, o logaritmo natural de 0,1 é aproximadamente igual a -2,3. Isso vezes 0,2 vai me dar algo em torno de -0,46. Claro que a gente vai somar isso com 0,1, porque, de qualquer forma, a gente vai ter um valor que é negativo, certo? Mais ou menos 0,36. Isso vai ocorrer com qualquer valor dentro desse intervalo. A gente sempre vai encontrar aqui um valor negativo. Então, neste intervalo que vai entre zero e 1 sobre a raiz quadrada de e, a gente vai encontrar uma derivada de g(x) sendo menor que zero, sendo negativa. Então, se a gente tem uma derivada negativa aqui significa que a função está decrescendo deste lado. Agora, vamos para o próximo intervalo. O próximo intervalo vai ser para valores maiores que este ponto. Então, o intervalo que vai entre 1 sobre a raiz quadrada de e e ꚙ. Vamos pegar a derivada e qualquer valor que esteja dentro desse intervalo para avaliar se a função está crescendo ou decrescendo. A gente pode pegar, por exemplo, x = 1. Então, a gente vai pegar g' em que x = 1. Isso vai ser igual a 2 vezes 1 vezes o logaritmo natural de 1, mais 1, certo? O logaritmo natural de 1, a gente já sabe que é igual a zero. Então, a gente vai ter 2 vezes 1 = 2, vezes zero, que é zero. 0 + 1 = 1. Então, vamos ter aqui, neste intervalo, um valor para a derivada sendo maior que zero, e isso vai se aplicar a qualquer valor dentro desse intervalo. Então, se a gente sabe que, antes deste ponto, a função está decrescendo, ou seja, a função está decrescendo antes desse nosso ponto crítico e a função está crescendo depois desse ponto crítico, significa que este ponto é um ponto de mínimo, um ponto de mínimo relativo. Agora, será que ele vai ser um ponto de mínimo absoluto? Sim! Porque não existem valores menores com ele, nem antes e nem depois dessa função. Observe aqui, por exemplo, a nossa função. A gente tem aqui: x² vezes ln(x). Se eu colocar valores aqui que são maiores que este neste ponto, a função sempre vai crescer, certo? E, se eu colocar valores em x que também são maiores que este, a função deste lado também cresce, não tão rápido quanto x², mas, de qualquer forma, cresce. Então, a gente tem um produto entre duas funções que estão crescendo neste intervalo e decrescendo aqui, neste intervalo. Sendo assim, a gente nunca vai encontrar um outro ponto que seja menor que este aqui. Então, este aqui é um ponto de mínimo absoluto. Temos um ponto de mínimo absoluto em x = 1 sobre a raiz quadrada de e. Mas será que existe algum ponto de máximo relativo ou absoluto? Não! Porque, conforme você pode observar aqui novamente, a função vai estar sempre crescendo. Todas as vezes que você colocar um valor em x em que esse x tende ao ꚙ, você vai encontrar uma função tendendo ao ꚙ, ou seja, ela estará sempre crescendo. Se ela está sempre crescendo, não existe um valor máximo absoluto. Então, não existe um máximo absoluto, ok? Bem, agora que já mostrei tudo isso para você, que tal a gente dar uma olhada no gráfico que representa essa função? Este aqui é o gráfico que representa a função que eu mostrei para vocês. Aqui, a função está decrescendo até chegar a um ponto... Esse ponto está mais ou menos aqui, em x = 1 sobre a raiz quadrada de e, que, inclusive, é o ponto em que a derivada é igual a zero e, a partir desse ponto, a gente sempre vai ter uma função crescendo. Então, a função está decrescendo deste lado e crescendo deste lado. Portanto, este ponto aqui é um ponto de mínimo absoluto.