Introdução à concavidade

RKA3JV - O que eu tenho aqui, em amarelo, é gráfico de y = f(x). E aqui no meio, em lilás, nós temos o gráfico de "y" igual à derivada de f(x). Ou seja, f'(x). E aqui embaixo, em azul, eu fiz o gráfico de "y" igual à segunda derivada de nossa função. Ou seja, f''(x). Nós já vimos exemplos de como podemos identificar os pontos de máximos e mínimos. Claramente, observando este gráfico bem aqui, não é tão difícil identificar qual é o ponto de máximo local. A função pode até ter valores maiores mais à frente. E identificar isso aqui como um ponto mínimo local. A função também pode ter valores menores mais à frente. Mas, nós já vimos que, mesmo que a gente não tenha o gráfico à nossa frente, nós somos capazes de identificar os pontos de máximos e mínimos utilizando a derivada da função. Sendo assim, quais são os pontos críticos desta função? Bem, os pontos críticos de uma função são os pontos em que a derivada da função ou é indefinida, ou é igual a zero. Então, chamamos estes pontos de pontos críticos. E, observando aqui, eu não vejo nenhum ponto onde a derivada é indefinida. Pelo menos por enquanto. Então, vamos chamar estes dois pontos de pontos críticos. Então, nós temos aqui e aqui como pontos críticos. Estes pontos críticos são candidatos onde a função pode ter valor mínimo ou máximo. E para descobrir se estes pontos seriam pontos de mínimos ou máximos, nós podemos olhar o comportamento da derivada em torno deste ponto. Deste lado aqui, nós podemos perceber que a derivada é positiva quando nos aproximamos deste ponto. E aí, depois, ela se torna negativa. Começa sendo positiva, depois fica negativa quando cruzamos este ponto. Ou seja, se a derivada é positiva, significa que ao nos aproximarmos deste ponto, a função estava crescendo, e decrescendo quando nós saímos deste ponto. Isso é uma boa maneira de pensar neste ponto como sendo um ponto de máximo. Se a função cresce, quando nós estamos nos aproximando, e decresce quando nós estamos nos afastando, então, nós teremos um ponto de máximo. Da mesma forma, bem aqui, nós podemos ver que a derivada é negativa quando nós nos aproximamos deste ponto. Isso significa que a função está decrescendo. Vemos também que a derivada é positiva quando nós saímos e nos afastamos deste ponto. Começamos com uma derivada negativa, quando nós estamos nos aproximando do ponto e saímos do ponto tendo uma derivada positiva. Ou seja, a função começa decrescendo e, a partir deste ponto, ela começa a crescer. Isso é uma boa indicação de que este ponto crítico é um ponto de mínimo. O que eu quero que você entenda, a partir de agora, é a ideia de concavidade. Para você começar a entender a ideia de concavidade, você tem que começar a olhar para a segunda derivada, mais até do que apenas olhar essa transição para pensar onde é um ponto de mínimo ou máximo. Então, vamos pensar sobre o que está acontecendo nesta primeira região, nesta parte da curva, onde se parece com o "u" de cabeça para baixo. Neste primeiro intervalo, bem aqui, se começamos bem aqui, a inclinação é bastante positiva e aos poucos ela vai se tornando menos positiva. E aí, se torna menos positiva, até que fique igual a zero. Depois disso, vai continuar decrescendo se tornando um pouco negativa. E à medida que nós avançamos, ela vai ficando cada vez mais e mais negativa. E parece que para de decrescer, mais ou menos, aqui neste ponto. Ela para de decrescer aqui e podemos ver isso, inclusive, na derivada. A inclinação está decrescendo e decrescendo até este ponto e, então, começa a ficar crescente. Em toda essa sessão, a inclinação está decrescendo. E aí, podemos também observar a segunda derivada. Se a derivada é decrescente, significa que a segunda derivada, ou seja, a derivada da derivada, é negativa. Vemos que é este mesmo caso. Sobre todo este intervalo inteiro aqui, a segunda derivada é, sem dúvida, negativa. Agora, o que acontece quando mudamos para essa parte aqui? Para essa parte que se assemelha a um "u". Bem, aqui, a derivada é razoavelmente negativa. Ainda é razoavelmente negativa por aqui, mas à medida que nós avançamos, ela vai se tornando cada vez menos negativa, até chegar a um ponto que seja igual a zero. A derivada fica igual a zero neste ponto aqui. Depois que passa deste ponto, ela vai ficar positiva e cada vez mais positiva. E vemos que a partir deste intervalo, a inclinação da reta tangente ou a derivada está crescendo. Aqui a inclinação é igual a zero, a inclinação da derivada é zero. E aí, vai crescendo e crescendo. Novamente, podemos visualizar a segunda derivada, ou seja, a derivada da derivada. Se a derivada está crescendo, significa que a derivada deve ser positiva. E este é, definitivamente, o caso onde a derivada é positiva. Temos, inclusive, uma frase para este "u" normal e para o "u" de cabeça para baixo. O "u" de cabeça para baixo nós chamamos de côncavo para baixo. Deixe-me ser mais claro aqui. Côncavo para baixo. E chamamos este que parece o "u" normal de côncavo para cima. Ok! Vamos revisar como podemos identificar intervalos côncavos para baixo e intervalos côncavos para cima. Se estamos querendo a concavidade para baixo, temos que ver bastante coisa. Temos que ver que a inclinação está decrescendo, que é uma outra maneira de dizer que f'(x) está decrescendo, que é uma outra forma de dizer que a segunda derivada deve ser negativa. Se a primeira derivada está decrescendo, a segunda derivada tem que ser negativa. Se temos uma segunda derivada negativa, então estamos em um intervalo com uma concavidade voltada para baixo. Da mesma forma, a gente pode pensar sobre a concavidade para cima. Onde temos algo parecido com o "u" para cima. Neste intervalo, a inclinação está crescendo. Temos uma inclinação que é negativa, mas cada vez ela vai ficando menos negativa, até chegar ao zero e depois, essa inclinação vai ficar positiva e cada vez mais positiva. Ou seja, a inclinação está crescendo. Isso significa que a derivada da função está aumentando. Vemos isso bem aqui, a derivada está aumentando o seu valor. Para isso acontecer, é necessário que a segunda derivada sobre este intervalo, onde é côncavo para cima, seja um valor maior que zero. Sendo assim, se a segunda derivada é maior que zero, então, a primeira derivada está crescendo. Isso significa que a inclinação está crescendo. E aí, estaremos em um intervalo com a concavidade voltada para cima. Agora, que já temos essas definições de concavidade voltada para baixo e para cima, nós podemos chegar a uma outra maneira de identificar quando um ponto crítico é um ponto de mínimo ou um ponto de máximo. Bem, se temos um ponto máximo, estaremos diante de um ponto crítico, onde a função é côncava para baixo. Conseguiu entender? O ponto de máximo será este ponto onde a concavidade está voltada para baixo. Quando estamos falando de um ponto crítico e assumindo que a concavidade está voltada para baixo, estamos assumindo diferenciabilidade neste intervalo. Assim, o ponto crítico será aquele em que a inclinação é igual a zero. Será este ponto aqui. Caso a concavidade seja para baixo, teremos um ponto onde é f'(a) seja igual a zero. Assim, teremos um ponto de máximo em "a". Da mesma forma, se a concavidade for voltada para cima, significa que a nossa função se parece com algo assim. Se achamos um ponto, obviamente, um ponto crítico seria onde a função não é definida. Mas estamos assumindo que a nossa primeira derivada e a segunda derivada são definidas aqui. Sendo assim, o ponto crítico será aquele onde a primeira derivada será igual a zero. Ou seja, f'(a) = 0. E se f'(a) = 0 e a concavidade é voltada para cima no intervalo ao redor de "a", e caso a segunda derivada seja maior que zero, aí poderemos ver, nitidamente, que estamos lidando com um ponto de mínimo em "a".