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o que eu tenho aqui em amarelo é o gráfico de y igual a fdx e aqui no meio em lilás nós temos o gráfico de y igual a derivada de fx ou seja é filhinha de x e aqui em baixo em azul eu fiz o gráfico de y igual a segunda derivada de nossa função ou seja efe duas linhas de x nós já vimos exemplos de como podemos identificar os pontos de máximos e mínimos claramente observando esse gráfico bem aqui não é tão difícil identificar qual é o ponto de máximo local a função pode até ter valores maiores mais à frente identificar isso aqui como um ponto mínimo local a função também pode ter valores menores mais à frente mas nós já vimos que mesmo que a gente não tenha o gráfico à nossa frente nós somos capazes de identificar os pontos de máximos e mínimos utilizando a derivada da função sendo assim quais são os pontos críticos dessa função bem os pontos críticos de uma função são os pontos em que a derivada da função ou em definida ou é igual a zero então chamamos esses pontos de pontos críticos e observando aqui eu não vejo nenhum ponto onde é derivada é indefinida pelo menos por enquanto então vamos chamar esses dois pontos de pontos críticos então nós temos aqui e aqui como pontos críticos esses pontos críticos são candidatos onde a função pode ter valor mínimo ou máximo e para descobrir se esses pontos seriam pontos de mínimos ou máximos nós podemos olhar o comportamento da derivada em torno desse ponto desse lado aqui nós podemos perceber que é derivada é positiva quando nos aproximarmos desse ponto e aí depois ela se torna negativa começa sendo positiva depois [ __ ] negativa quando cruzamos esse ponto ou seja se a derivada é positiva significa que ao nos aproximarmos desse ponto a função estava crescendo e decrescendo quando nós saímos desse ponto isso é uma boa maneira de pensar nesse ponto como sendo um ponto de máximo se a função cresce quando nós estamos nos aproximando e decresce quando nós estamos nos afastando então nós teremos um ponto de máximo da mesma forma bem aqui nós podemos ver que é derivada é negativa quando nós nos aproximarmos desse ponto isso significa que a função está decrescendo e vemos também que a derivada é positiva quando nós saímos e nos afastamos desse ponto começamos com uma derivada negativa quando nós estamos nos aproximando do ponto e saímos do ponto tendo uma derivada positiva ou seja a função começa de crescendo ea partir desse ponto ela começa a crescer isso é uma boa indicação de que esse ponto crítico é um ponto de mínimo o que eu quero que você entenda a partir de agora é a idéia de concavidade para você começar a entender a idéia de concavidade você tem que começar a olhar para segunda derivada mais até do que apenas olhar essa transição para pensar onde é um ponto de mínimo ou máximo então vamos pensar sobre o que está acontecendo nessa 1ª região nessa parte da curva que onde se parece com o de cabeça para baixo nesse primeiro intervalo bem aqui se começamos bem aqui a inclinação é bastante positiva e aos poucos ela vai se tornando menos positiva e aí se torna menos positiva até que fique igual a zero depois disso vai continuar decrescendo se tornando um pouco negativa e à medida que nós nos avançamos ela vai ficando cada vez mais e mais negativa e parece que para de de crescer mais ou menos aqui nesse ponto ela pára de crescer aqui e podemos ver isso inclusive na derivada a inclinação está decrescendo e decrescendo até esse ponto e então começa a ficar crescente em toda essa sessão a inclinação está decrescendo e aí podemos também observar segunda derivada se a derivada é decrescente significa que a segunda derivada ou seja a derivada da derivada é negativa vemos que é esse mesmo caso sobre todo esse intervalo inteiro aqui a segunda derivada é sem dúvida negativa agora o que acontece quando mudamos para essa parte aqui para essa parte que se assemelha hur ben aqui a derivada é razoavelmente negativa ainda é razoavelmente negativa por aqui mas à medida que nós nos avançamos ela vai se tornando cada vez menos negativa até chegar a um ponto que seja igual a zero a derivada fica igual a zero nesse ponto que depois que passa desse ponto ela vai ficar positivo e cada vez mais positiva e vemos que a partir desse intervalo a inclinação da reta tangente ou a derivada está crescendo aqui a inclinação é igual a zero inclinação da derivada zero e aí vai crescendo e crescendo novamente podemos visualizar a segunda derivados seja derivada da derivada se a derivado está crescendo significa que a derivada deve ser positiva e esse é definitivamente o caso onde a derivada é positiva temos inclusive uma frase para esse o normal eo tio cabeça pra baixo ou de cabeça pra baixo nós chamamos de côncavo para baixo deixou ser mais claro que conca volpar abaixo e chamamos esse que parece o normal de côncavo para cima ok vamos revisar como podemos identificar intervalos com cabos para baixo e intervalos com cabos para cima se estamos querendo concavidade para baixo temos que ver bastante coisa temos que ver que a inclinação está decrescendo que é uma outra maneira de dizer que é filhinha de x está decrescendo que é uma outra forma de dizer que a segunda derivada deve ser negativa se a primeira derivada está decrescendo a segunda derivada tem que ser negativa se temos uma segunda derivada negativa então estamos no intervalo com uma concavidade voltada para baixo da mesma forma a gente pode pensar sobre a concavidade para cima onde temos algo parecido com o para cima nesse intervalo a inclinação está crescendo temos uma inclinação que é negativa mas cada vez ela vai ficando menos negativa até chegar a 10 e depois essa inclinação vai ficar positivo e cada vez mais positiva ou seja a inclinação está crescendo isso significa que a derivada da função está aumentando e vemos isso bem aqui é derivado está aumentando o seu valor para isso acontecer é necessário que a segunda derivada sobre esse intervalo onde há côncavo para cima seja um valor maior que zero sendo assim se a segunda derivada é maior que zero então a primeira derivado está crescendo e isso significa que a inclinação está crescendo e aí estaremos em um intervalo com a concavidade voltada para cima agora que já temos essas definições de concavidade voltada para baixo e para cima nós podemos chegar a uma outra maneira de identificar quando um ponto crítico é um ponto de mínimo um ponto de máximo em si temos um ponto máximo estaremos diante de um ponto crítico onde a função é côncava para baixo conseguiu entender então o ponto de máximo será esse ponto onde a concavidade está voltada para baixo quando estamos falando de um ponto crítico e assumindo que a concavidade está voltada para baixo estamos assumindo diferenciar bilidade nesse intervalo assim o ponto crítico será aquele em que a inclinação é igual a zero será esse ponto é que caso a concavidade seja para baixo teremos um ponto onde é filhinha de digamos a seja igual a zero assim teremos um ponto de máximo em a da mesma forma se a concavidade por voltada para cima significa que a nossa função se parece com algo assim se achamos um ponto obviamente um ponto crítico seria onde a função não é definida mas estamos assumindo que a nossa primeira derivada ea segunda derivada definida aqui sendo assim o ponto crítico ser aquele onde a primeira derivada será igual a zero ou seja é filhinha de a é igual a zero esse é filha de a é igual a zero ea concavidade voltada para cima no intervalo ao redor de a e caso segunda derivada seja maior que 0 aí poderemos ver nitidamente que estamos lidando com um ponto de mínimo em aaa
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