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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 5
Lição 6: Como determinar a concavidade de intervalos e encontrar pontos de inflexão: gráficoIntrodução aos pontos de inflexão
Pontos de inflexão são pontos onde a função muda de concavidade, ou seja, de ser "côncava para cima" para ser "côncava para baixo" ou vice-versa. Eles podem ser encontrados determinando onde a derivada de segunda ordem muda de sinal. Assim como os pontos críticos na derivada de primeira ordem, pontos de inflexão vão ocorrer quando a derivada de segunda ordem for zero ou indefinida. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA4 JL- Se você prestou bastante atenção ao último vídeo, uma questão interessante
pode ter passado pela sua cabeça. Nós falamos sobre os intervalos
nos quais a função é côncava para baixo e então falamos dos intervalos
nos quais a função é côncava para cima. Mas nós vemos que há aqui um ponto de transição
entre a função ser côncava para baixo e côncava para cima. Antes desse ponto, o coeficiente angular da reta tangente
estava diminuindo, e então o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico
começa a aumentar. Aqui o coeficiente angular estava diminuindo e passa a aumentar aqui. Esta é uma maneira de pensarmos na nossa função. Nós passamos de côncavo para baixo
para côncavo para cima quando você observa que a derivada estava diminuindo
e depois passou a aumentar. Se você olha para a derivada segunda, neste ponto ela passou de negativa para positiva. Você deve estar pensando
que isso deve ter um nome especial. Este ponto em que há a transição entre côncavo para baixo
ou para cima é chamado de ponto de inflexão. É o ponto também em que a derivada primeira
tem um ponto crítico, um ponto de máximo ou mínimo, e é o ponto também no qual a derivada segunda
troca de sinal. Este é, então, o ponto
chamado de ponto de inflexão e você pode testar onde há um ponto de inflexão primeiramente verificando conceitualmente onde acontece a transição entre côncavo para baixo ou para cima. Mas a maneira mais fácil é verificar o ponto
onde o sinal da derivada segunda muda. Neste caso, a derivada segunda neste ponto
foi de negativa para positiva, mas pode acontecer também o contrário,
de positiva para negativa. Então no ponto de inflexão, a derivada segunda da função em questão tem o seu sinal invertido. No exemplo já tínhamos ali, tínhamos a concavidade para baixo
depois para cima, mas poderíamos ter uma situação de concavidade para cima
e depois para baixo. Aqui estaria o ponto de inflexão e até este ponto temos o coeficiente angular
da reta tangente ao gráfico aumentando, ou seja, a derivada segunda é positiva, enquanto que a partir deste ponto o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico vai diminuindo e isso significa que a derivada segunda é negativa. Então neste exemplo a derivada segunda
está indo de positiva para negativa, ao contrário do exemplo anterior
que já estava aqui na tela. Mas em ambos os casos
temos aqui um ponto de inflexão. Até o próximo vídeo!