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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 5
Lição 6: Como determinar a concavidade de intervalos e encontrar pontos de inflexão: gráficoAnálise de concavidade (graficamente)
Neste vídeo, resolvemos um exercício em que se pede para reconhecer a concavidade de uma função em certas regiões. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA14C "Uma função f(x)
é esboçada abaixo." "Destaque o intervalo no qual f'(x)," "ou a primeira derivada de x," "é maior que zero" "e f'(x), ou a segunda derivada
de f em relação a x," "é menor que zero." Bem, vamos pensar no que
esse enunciado está dizendo. Nós estamos procurando
um lugar em que a primeira derivada
é maior que zero. Isso significa que a inclinação
da reta tangente é positiva. Significa que a função está
crescendo naquele intervalo. Se pensarmos a respeito disso,
sobre esta região toda aqui, a função está claramente decrescendo. A inclinação torna-se
zero bem aqui. Essa função começa
a crescer novamente até que este ponto
bem aqui atinja o zero, e, na sequência, a função
começa a diminuir. Já que esta primeira restrição nos diz que precisamos de algo
neste intervalo aqui, então, eles pedem que a segunda derivada
seja menor que zero. Isso significa que a própria inclinação, seja ela positiva ou negativa,
está diminuindo. Então, nós vamos ter
uma concavidade para baixo aqui. A inclinação em si
pode até ser positiva, mas ela vai ficar
cada vez menos positiva. Então, nós estamos procurando
um lugar com a inclinação positiva, mas que seja cada vez menos positiva. Então, se você estiver
olhando bem aqui, a inclinação é positiva,
mas a inclinação está crescendo, ficando cada vez mais íngreme
conforme avançamos. Então, do nada, ela vai
ficando menos íngreme. Menos, menos, menos... até que
a inclinação volte a ser zero. Se nós fôssemos
selecionar um intervalo, seria este intervalo bem aqui. Nossa inclinação é positiva. E nossa função claramente
está crescendo, mas está crescendo
a uma taxa cada vez mais baixa. Então, eu vou selecionar este aqui. Vamos fazer mais um exemplo. "Uma função f(x) é traçada abaixo." "Destaque o intervalo no qual f'(x)," "ou a primeira derivada de x," "é maior que zero," "e f"(x), ou a segunda derivada
de f em relação a x," "é menor que 0." Então, é a mesma coisa. Nossa função está crescendo, mas está crescendo a
uma taxa cada vez menor. Então, nossa função está crescendo
em toda esta região aqui. Nós vemos que é
bem íngreme aqui, depois ela vai ficando
menos e menos íngreme. Vai ficando cada vez mais próxima
de zero a inclinação da reta tangente, ou a taxa de crescimento da função. Então, eu pegaria qualquer coisa
nesta região bem aqui.