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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 5
Lição 7: Como determinar a concavidade de intervalos e encontrar os pontos de inflexão: algebricamente- Análise de concavidade (algebricamente)
- Pontos de inflexão (algébra)
- Erros ao encontrar pontos de inflexão: segunda derivada indefinida
- Erros ao encontrar pontos de inflexão: não verificar candidatos
- Análise da derivada de segunda ordem para encontrar pontos de inflexão
- Análise de concavidade
- Encontre pontos de inflexão
- Revisão de concavidade
- Revisão de pontos de inflexão
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Revisão de pontos de inflexão
Revise seus conhecimentos de pontos de inflexão e como usamos o cálculo diferencial para encontrá-los.
O que são pontos de inflexão?
Pontos de inflexão são pontos onde o gráfico de uma função muda de concavidade (de \cup para \cap ou vice-versa).
Quer aprender mais sobre pontos de inflexão e cálculo diferencial? Confira este vídeo.
Prática 1: Analisar pontos de inflexão graficamente
Quer tentar mais problemas como esse? Confira este exercício.
Prática 2: analisar pontos de inflexão algebricamente
Pontos de inflexão são encontrados de maneira similar a como encontramos pontos extremos. No entanto, ao invés de procurar por pontos onde a derivada muda seu sinal, procuramos por pontos onde a segunda derivada muda seu sinal.
Vamos encontrar, por exemplo, os pontos de inflexão de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, x, start superscript, 4, end superscript, plus, x, cubed, minus, 6, x, squared.
A segunda derivada de f é f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 6, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis.
f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 para x, equals, minus, 2, comma, 1 e ela é definida em toda parte. x, equals, minus, 2 e x, equals, 1 dividem a reta numérica em três intervalos:
Vamos calcular f, start superscript, prime, prime, end superscript em cada intervalo para ver se ela é positiva ou negativa nesse intervalo.
Intervalo | Valor de x | f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis | Veredito |
---|---|---|---|
x, is less than, minus, 2 | x, equals, minus, 3 | f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, equals, 24, is greater than, 0 | f é côncava para cima \cup |
minus, 2, is less than, x, is less than, 1 | x, equals, 0 | f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, 0, right parenthesis, equals, minus, 12, is less than, 0 | f é côncava para baixo \cap |
x, is greater than, 1 | x, equals, 2 | f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, 24, is greater than, 0 | f é côncava para cima \cup |
Podemos ver que o gráfico de f muda de concavidade tanto em x, equals, minus, 2 como em x, equals, 1, então f tem pontos de inflexão nesses dois valores de x.
Quer tentar mais problemas como esse? Confira este exercício.
Quer participar da conversa?
- Qual a condição de segunda ordem para haver um ponto de inflexão?(1 voto)
- Você precisa fazer o estudo do sinal.
As raízes da 2ª derivada da função serão pontos de inflexão SE apresentarem uma diferença no sinal antes e depois da derivada.
Ou seja, supondo que a raiz de uma função seja 0, se a f(-1) for negativa e f(1) for positiva, tem aí uma mudança de sinal e logo é um ponto de inflexão. Caso não haja mudança do sinal, não é ponto de inflexão.(2 votos)