Revisão de pontos de inflexão

Pontos de inflexão são pontos onde o gráfico de uma função muda de concavidade (de $\cup$\cup para $\cap$\cap ou vice-versa).

Pontos de inflexão são encontrados de maneira similar a como encontramos pontos extremos. No entanto, ao invés de procurar por pontos onde a derivada muda seu sinal, procuramos por pontos onde a segunda derivada muda seu sinal.

Vamos encontrar, por exemplo, os pontos de inflexão de $f(x)=\dfrac{1}{2}x^4+x^3-6x^2$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, x, start superscript, 4, end superscript, plus, x, cubed, minus, 6, x, squared.

A segunda derivada de $f$f é $f''(x)=6(x-1)(x+2)$f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 6, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis.

$f''(x)=0$f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 para $x=-2,1$x, equals, minus, 2, comma, 1 e ela é definida em toda parte. $x=-2$x, equals, minus, 2 e $x=1$x, equals, 1 dividem a reta numérica em três intervalos:

Vamos calcular $f''$f, start superscript, prime, prime, end superscript em cada intervalo para ver se ela é positiva ou negativa nesse intervalo.

Podemos ver que o gráfico de $f$f muda de concavidade tanto em $x=-2$x, equals, minus, 2 como em $x=1$x, equals, 1, então $f$f tem pontos de inflexão nesses dois valores de $x$x.