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Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 5

Lição 7: Como determinar a concavidade de intervalos e encontrar os pontos de inflexão: algebricamente
Matemática
Cálculo Avançado AB
Como aplicar derivadas à análise de funções
Como determinar a concavidade de intervalos e encontrar os pontos de inflexão: algebricamente
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Análise da derivada de segunda ordem para encontrar pontos de inflexão

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Aprenda como a derivada de segunda ordem de uma função é usada para encontrar os pontos de inflexão da função. Saiba quais erros comuns evitar no processo.
Podemos encontrar os pontos de inflexão de uma função pela análise de sua derivada de segunda ordem.

Exemplo: como encontrar os pontos de inflexão de f(x)=x5+53x4

Etapa 1: calcular a derivada de segunda ordem
Para encontrar os pontos de inflexão de f, precisamos usar f″:
f′(x)=5x4+203x3f″(x)=20x3+20x2=20x2(x+1)
Etapa 2: encontrar todos os candidatos a pontos de inflexão
Similar aos pontos críticos, estes são pontos em que f″(x)=0 ou em que f″(x) é indefinida.
f″ é nula em x=0 e x=−1, e ela é definida para todos os número reais. Então, x=0 e x=−1 são nossos candidatos a pontos de inflexão.
Etapa 3: analisar a concavidade
IntervaloValor x de testef″(x)Conclusão
x<−1x=−2f″(−2)=−80<0f é côncava para baixo ∩
−1<x<0x=−0,5f″(−0,5)=2,5>0f é côncava para cima ∪
x>0x=1f″(1)=40>0f é côncava para cima ∪
Etapa 4: encontrar pontos de inflexão
Agora que sabemos os intervalos nos quais f é côncava para cima ou para baixo, podemos encontrar seus pontos de inflexão (isto é, onde a concavidade muda de direção).
  • f é côncava para baixo antes de x=−1, côncava para cima depois desse valor e, definida em x=−1. Então, f tem um ponto de inflexão em x=−1.
  • f é côncava para cima antes e depois de x=0, então ela não tem um ponto de inflexão ali.
Podemos conferir nosso resultado analisando o gráfico de f.
A função f é mostrada graficamente. O eixo x vai de 4 negativo até 4. O gráfico consiste de uma curva. A curva começa no quadrante 3, move-se para cima com inclinação decrescente até aproximadamente (1,3 negativo; 1), move-se para baixo com inclinação crescente até aproximadamente (1 negativo; 0,7), continua para baixo com inclinação decrescente até a origem, move-se para cima com inclinação crescente e termina no quadrante 1. O ponto em (1 negativo; 0,7), no qual o gráfico muda a inclinação, de para baixo com inclinação crescente, muda para baixo com inclinação decrescente, é o ponto de inflexão. A parte da curva à esquerda desse ponto é côncava para baixo, e a curva se move para cima com inclinação decrescente e então para baixo com inclinação crescente. A parte da curva à direita do ponto de inflexão é côncava para cima, e a curva se move para baixo com inclinação decrescente e então para cima com inclinação crescente.
Problema 1
Olga tinha que encontrar onde f(x)=(x−2)4 tem pontos de inflexão. Esta é a solução apresentada por ela:
Etapa 1:
f′(x)=4(x−2)3f″(x)=12(x−2)2
Etapa 2: a solução de f″(x)=0 é x=2.
Etapa 3: f tem um ponto de inflexão em x=2.
A resolução de Olga está correta? Se não, que erro ela cometeu?
Escolha 1 resposta:

Erro comum: não conferir os candidatos

Lembrete: não podemos assumir que todo ponto no qual f″(x)=0 (ou no qual f″(x) é indefinida) é um ponto de inflexão. Em vez disso, devemos conferir nossos candidatos para ver se a derivada de segunda ordem muda de sinal nesses pontos, assim como se a função é definida nesses pontos.
Problema 2
Roberto tinha que encontrar onde g(x)=Ax3 tem pontos de inflexão. Esta foi a resolução apresentada por ele:
Etapa 1:
g′(x)=13x−23g″(x)=−29x−53=−29Ax53
Etapa 2: g″(x)=0 não tem solução.
Etapa 3: g não tem nenhum ponto de inflexão.
A resolução de Roberto está correta? Se não, que erro ele cometeu?
Escolha 1 resposta:

Erro comum: não incluir pontos nos quais a derivada é indefinida

Lembrete: nossos candidatos a pontos de inflexão são pontos nos quais a derivada de segunda ordem é igual a zero e nos quais a derivada de segunda ordem é indefinida. Ignorar pontos em que a derivada de segunda ordem é indefinida frequentemente resultará em uma resposta errada.
Problema 3
Tom tinha que encontrar onde h(x)=x2+4x tem um ponto de inflexão. Esta foi a resolução apresentada por ele:
Etapa 1: h′(x)=2x+4
Etapa 2: h′(−2)=0, então x=−2 é um potencial ponto de inflexão.
Etapa 3:
IntervaloValor de x do testeh′(x)Conclusão
(−∞,−2)x=−3h′(−3)=−2<0h é côncava para baixo ∩
(−2,∞)x=0h′(0)=4>0h é côncava para cima ∪
Etapa 4: h é côncava para baixo antes de x=−2 e côncava para cima depois de x=−2, então h tem um ponto de inflexão em x=−2.
A resolução de Tom está correta? Se não, que erro ele cometeu?
Escolha 1 resposta:

Erro comum: analisar a derivada de primeira ordem, em vez da derivada de segunda ordem

Lembrete: ao buscarmos pontos de inflexão, sempre teremos que analisar onde a segunda derivada muda seu sinal. Fazer essa análise da derivada de primeira ordem nos dará pontos de extremo relativos, e não pontos de inflexão.
Problema 4
Considere g(x)=x4−12x3−42x2+7.
Para quais valores de x o gráfico de g tem um ponto de inflexão?
Escolha todas as respostas aplicáveis:

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