Análise de concavidade (algebricamente)

RKA3JV - Nós temos aqui uma função polinomial g(x), em que esta função é de quarto grau. O que eu quero mostrar para você, neste vídeo, é a ideia de concavidade. E observar ao longo de um certo intervalo, se esta função tem a concavidade voltada para cima ou se tem a concavidade voltada para baixo. Para relembrar um pouco da concavidade, vamos mostrar os dois casos. Quando a concavidade está voltada para cima e quando a concavidade está voltada para baixo. No caso em que a gente tem a concavidade para cima, temos este caso aqui. Isto aqui seria uma concavidade voltada para cima. Se você observar em diversos pontos, ao longo deste intervalo, você vai perceber que neste ponto nós temos uma reta tangente com uma inclinação negativa, certo? Mas, se você observar um pouco mais abaixo, você vai ver que apesar desta inclinação ainda estar negativa, ela se tornou menos negativa. Quando passa por este ponto mais abaixo aqui, a concavidade é nula e após este ponto a concavidade se torna positiva. Um pouco mais acima ela está ainda mais positiva. Ou seja, a inclinação da reta, ao longo deste intervalo, está ficando cada vez mais positiva. Ou seja, a inclinação está aumentando. Todas as vezes que a gente tem um caso de ter uma concavidade para cima e a inclinação, neste caso, está se tornando mais positiva, ou seja, está aumentando, a derivada desta função g(x) vai ficando cada vez maior. Isto significa que a segunda derivada desta função vai ser sempre maior que zero. Então, vamos anotar isto aqui. A gente vai ter que a derivada de g(x) aumenta. Ou seja, se torna cada vez mais positiva. Consequentemente, a segunda derivada é maior que zero. Agora, a gente poderia ter um outro caso. A gente poderia ter o caso da concavidade virada para baixo. Desta forma aqui, certo? Aqui você vai perceber que se você traçar os pontos, conforme a gente fez aqui, a inclinação da reta vai ficando cada vez mais negativa. Ou seja, a derivada de g(x) diminui. Consequentemente, a gente vai ter uma segunda derivada sendo menor que zero. Então, só para entender bem, se a gente pegar diversos pontos aqui, neste ponto aqui, a gente vai ver que a gente tem uma certa inclinação, certo? Uma inclinação positiva. Depois, no outro ponto, se torna menos positiva, depois menos positiva, aqui é igual a zero. Depois ela se torna negativa, depois mais negativa e ainda mais negativa. Ou seja, à medida que nós aumentamos o "x", a inclinação da reta vai ficando cada vez mais negativa. Ok! O que nós podemos fazer nesta função é determinar a primeira e a segunda derivada. E ao longo de um intervalo, a gente vai conseguir determinar se a nossa segunda derivada é maior que zero ou menor que zero. E, assim, saber se a concavidade é apontada para cima ou se a concavidade é apontada para baixo. Ou, simplesmente, se a inclinação está indo do positivo para o negativo ou do negativo para o positivo. A gente também vai conseguir determinar aqueles pontos em que a gente tem uma indeterminação. Ou, ainda, o ponto em que a inclinação da reta é igual a zero. Então, vamos fazer isto aqui calculando a primeira derivada e a segunda derivada deste g(x). A primeira derivada de g(x), a gente pode aplicar as propriedades da derivada logo. E aqui a gente vai pegar este 4 e passar aqui para frente. Então, a gente vai ter -4 vezes "x", não esquecendo de subtrair 1 aqui no expoente. 4 - 1 é 3. A mesma coisa aqui. A gente vai passar este 2 para cá multiplicando. Então, a gente vai ter 2 vezes 6 que é 12, e subtrair 1 aqui no expoente. 2 - 1 é 1. Então, a gente vai ter apenas o "x". E a mesma coisa aqui. 1 vezes 2 é 2. E aqui vai ter 1 - 1 é zero. E todo número elevado a zero é igual a 1. Então, sobra apenas o 2. E aqui a gente tem uma constante, e a derivada de uma constante é sempre igual a zero. A gente pode calcular a segunda derivada agora. A segunda derivada de g(x). Aplicando as mesmas propriedades aqui, a gente vai ter este 3 multiplicando com este 4. 3 vezes 4 é 12. E subtraindo aqui no expoente, então a gente vai ter -12 vezes "x" elevado a 3 - 1 que é 2. Mais, 12. Porque aqui o "x" tem 1 no expoente, passando aqui para frente vai ser 1 vezes 12, O 2 aqui é uma constante, a derivada da constante é sempre igual a zero, ok? Agora, algo que você precisa fazer nesta segunda derivada é encontrar pontos de indeterminação. Neste caso, como se trata de uma função quadrática, não existe nenhum ponto de indeterminação. O domínio corresponde a qualquer valor para "x". Após ter feito isso, a gente precisa encontrar o ponto de transição em que a gente tenha do negativo para o positivo, ou do positivo para o negativo. Ou seja, quais os valores para "x" que vão tornar esta função g'' negativa, e quais os valores de "x" que vai tornar esta função g'' positiva? Uma forma de encontrar estes pontos de transição é igualando este g'' com zero. Então, a gente vai ter -12x² + 12 = 0 -12x² + 12 sendo igual a zero, já que este é o ponto de transição do g'', entre os pontos em que a função é negativa e se torna positiva. Resolvendo isto aqui, subtraindo por 12 dos dois lados, a gente vai ter -12x² = -12 Dividindo por -12 dos dois lados da equação, a gente tem isto aqui, x² sendo igual a 1. Desta forma, a gente encontra um "x" que vai ser igual a √1. E √1 é mais ou menos 1. Agora, que já obtemos estes valores aqui, que são os pontos em "x" para a transição entre negativo e positivo ou entre positivo e negativo para o g'', nós podemos observar isto aqui traçando uma reta no eixo "x". E vamos colocar os pontos aqui. O ponto zero, aqui o ponto -1, aqui o -2, aqui 1 e aqui o 2. Inicialmente, vamos observar o intervalo do menos infinito até -1. Então, todo este intervalo aqui para trás. Então, a gente tem um intervalo que vai desde o menos infinito até o -1. Vamos aplicar a segunda derivada em algum ponto deste intervalo. Por exemplo, pode ser o próprio -2 aqui. Então, a gente vai ter um g'' no ponto "x" igual a -2. E isto vai ser igual a, se a gente colocar aqui -2² a gente vai ter 4. 4 vezes -12 é igual a -48, -48 + 12 é -36. Então, a gente vai ter um valor negativo. Aqui, tendo um valor negativo, ou seja, a segunda derivada aqui de "x" sendo negativa, ou seja, menor que zero, a gente cai neste caso aqui. Em que a gente tem uma concavidade voltada para baixo. Então, vamos anotar. Neste intervalo a concavidade é para baixo. Agora, vamos observar neste intervalo entre -1 e 1, já que aqui ocorre um ponto de transição. E o próximo ponto de transição é apenas quando "x" é igual a 1. Então, este intervalo aqui vale a pena ser observado. O intervalo que vai de -1 até 1. E, novamente, vamos escolher um ponto aqui para observar. Este ponto pode ser o próprio zero que está dentro deste intervalo. A gente aplica a segunda derivada, neste ponto, com "x" igual a zero. Aqui sendo zero, anula esta parte e sobra apenas o 12. Então, 12 positivo. Ou seja, g'' no ponto "x" igual a zero é igual a 12 positivo. Se é positivo, a gente vai ter a segunda derivada aqui sendo maior que zero. Quando a segunda derivada de "x" é maior que zero, a gente cai neste outro caso aqui. A concavidade está virada para cima. Então, a gente anota aqui, concavidade para cima. Como vimos, no ponto "x = 1" a gente vai ter uma outra transição nesta segunda derivada. E após este ponto, não tem nenhum outro ponto de transição. Então, a gente pode considerar todo este intervalo aqui do 1 até o mais infinito. Então, nós vamos ter um intervalo indo de 1 até o mais infinito. Aplicamos novamente a segunda derivada a algum ponto deste intervalo, que pode ser o próprio 2. E substituindo este 2 aqui, novamente, a gente vai chegar a um valor igual a -36. Ou seja, a segunda derivada dentro deste intervalo é negativa. Então, a segunda derivada de g(x), neste intervalo que vai de 1 até mais infinito, é menor que zero. E como a segunda derivada é menor que zero, novamente, a gente cai neste caso da concavidade voltada para baixo. Então, a concavidade é para baixo. É interessante como esta segunda derivada consegue fornecer informações a respeito do gráfico, mesmo sem a gente fazer toda uma análise geométrica aqui. E eu já até tracei o gráfico antes e vamos comparar se tudo isto que a gente fez aqui faz sentido, e se tem uma certa similaridade com o gráfico traçado. Este é o gráfico da função g(x). Partindo aqui de trás, do menos infinito, a gente pode perceber que a gente tem uma inclinação e que esta inclinação vai se tornando cada vez menor. Menor, se torna negativa neste ponto, menor, menor, menor e menor. Até chegar neste ponto com "x" igual a 1. Neste intervalo aqui, a gente tem uma concavidade voltada para baixo em que a inclinação da reta tangente em qualquer ponto está se tornando cada vez menor. No "x = -1" a gente vai ter um ponto de transição. E aí, a inclinação vai voltar a aumentar, vai ficando cada vez maior, maior, maior. Quer dizer, neste caso, vai se tornando cada vez menos negativa. Ou seja, vai se tornando mais positiva. Aqui é igual a zero e depois ela vai se tornando cada vez maior, mais positiva. Neste intervalo, como podemos observar, a curva tem uma concavidade voltada para cima, como vimos aqui. Novamente, chegamos a um ponto de transição "x" igual a 1 positivo. E, neste ponto, esta inclinação vai novamente se tornar menor, vai ficando cada vez menor, até chegar aqui no ponto que é igual a zero. E aqui vai se tornando cada vez mais negativa. E isto vai acontecendo até o infinito. Observe também que nesta parte a gente tem um gráfico com a concavidade voltada para baixo. Então, a gente conseguiu fazer uma análise e ter uma noção deste gráfico, apenas utilizando as definições de derivada e um pouco de álgebra. E isto vai te ajudar a compreender melhor o gráfico de qualquer outra função. Todas as vezes que você tiver uma função e quiser determinar os pontos de transição, a parte em que o gráfico tem a concavidade para cima, e a parte que o gráfico tem uma concavidade para baixo é só fazer este processo. Calcule a segunda derivada, determine os pontos de transição, determine os pontos de indeterminação, caso haja. E observe os intervalos entre estes pontos de transição. Caso a segunda derivada, em algum ponto dentro deste intervalo dê negativa, a concavidade daquela curva está voltada para baixo. Caso a segunda derivada para um ponto dentro do intervalo dê um valor positivo, a concavidade está voltada para cima. Eu espero que você tenha gostado desta aula e até o próximo vídeo!