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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 5
Lição 7: Como determinar a concavidade de intervalos e encontrar os pontos de inflexão: algebricamente- Análise de concavidade (algebricamente)
- Pontos de inflexão (algébra)
- Erros ao encontrar pontos de inflexão: segunda derivada indefinida
- Erros ao encontrar pontos de inflexão: não verificar candidatos
- Análise da derivada de segunda ordem para encontrar pontos de inflexão
- Análise de concavidade
- Encontre pontos de inflexão
- Revisão de concavidade
- Revisão de pontos de inflexão
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Pontos de inflexão (algébra)
Neste vídeo, analisamos os pontos de inflexão de g(x)=¼x⁴-4x³+24x² procurando por valores em que a segunda derivada g'' muda de sinal.
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Transcrição de vídeo
RKA4JL - Seja g(x) igual a ¼ x⁴ menos 4x³ mais 24x². Para quais valores de x
o gráfico da função g possui pontos de inflexão? O que são pontos de inflexão? São pontos em que ela muda da concavidade para baixo
para a concavidade para cima ou ela tem a concavidade para cima
e muda a concavidade para baixo. Como é que nós podemos descobrir quais são os pontos em que ela muda a sua concavidade? Quando g''(x) muda de sinal. Então vamos ver quem é g''(x). Vamos primeiro ver quem é g'(x). g'(x) vai ser 4 vezes ¼, que vai ser 1, então é x³, menos 12x² mais 48x. Então quem vai ser g''(x)? Vai ser 3x² menos 24x mais 48. Ora, queremos saber se ela muda de sinal.
Vamos igualar a zero. Nós vamos ter a seguinte expressão:
3x² menos 24x mais 48 igual a zero. Vamos dividir tudo por três, portanto vamos ficar com
x² menos 8x mais 16 igual a zero. Quais são os números que multiplicados
dão 16 e somados dão 8? Seria 4. Portanto (x menos 4)². Nós temos x menos 4 igual a zero. Então x igual a 4, o que torna essa função igual a zero. Vamos ver antes de 4 e depois de 4
como é que se comporta a função. Nós temos 4 aqui temos números antes do 4,
então vamos colocar o zero, vamos ter outros números depois de 4,
vamos colocar o 10. Ora, quem é g(0), g''(0)? g''(0) nós vamos ver que é 48. Então é um número positivo,
portanto antes de 4g''(x) é maior do que zero. Então todo esse espaço antes do 4 é maior do que zero. Depois do 4 vamos ver g(10), g''(10). g''(10) nós vamos ter 3 vezes 100, que vai dar 300, menos 24 vezes 10, 240,
mais 48 vamos ter 60 mais 48, 108, que é um número maior do que zero também. Portanto g''(x) depois de 4
é um número maior do que zero. Você pode estar se perguntando:
"Ora, e no g''(4)?" g''(4) é igual a zero,
mas ela não muda de sinal. Portanto ela não muda a concavidade. Aqui ela praticamente muda a concavidade,
mas não muda a concavidade, ela é igual a zero e não muda, pois aqui ela tem a concavidade para cima,
porque ela é positiva, e aqui ela tem a concavidade para cima também,
porque ela é positiva, e nesse ponto ela praticamente muda a concavidade,
mas não muda. Ela chega no valor igual a zero. Vamos ver o que está acontecendo através de uma simulação, pois fica mais fácil de a gente compreender. Veja que de 5 até 10 ela não muda a concavidade. Nesse ponto ela tem inclinação zero,
depois ela vai subindo. No ponto igual a 4 ela quase que muda a concavidade,
mas não muda e depois ela volta a crescer e tem toda sua curva representada com a concavidade para cima. Portanto, voltando para o nosso problema, podemos dizer que não existem pontos de inflexão e vamos colocar uma exclamação para deixar bem claro.