Conteúdo principal
Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 5
Lição 9: Como esboçar curvas de funções e suas derivadasAnálise da função com a sua derivada
Cálculo da derivada de f(x)=x³-12x+2 e desenho do gráfico da derivada, para que possamos dizer quando f é crescente ou decrescente e onde estão seus pontos extremos relativos. Versão original criada por Sal Khan.
Quer participar da conversa?
- Esses dois últimos vídeos deveriam estar antes do exercício sobre números críticos, não?(10 votos)
Transcrição de vídeo
RKA14C Analisando esta função de terceiro grau... Vamos tentar esboçar esta função. A primeira coisa que devemos fazer
é achar os pontos críticos, ou seja, os pontos em que ela deixa
de crescer para passar a decrescer, ou deixa de decrescer
para passar a crescer. Para isso, vamos primeiro
calcular sua derivada. Calculando sua derivada, temos: 3x² - 12... A derivada de uma constante é zero. Então, aqui nós temos nossa derivada. Igualando ela a zero,
vamos ter os pontos críticos. Ou seja, nós temos: 3x² - 12 = 0. Então, x² = 4. E vamos ter dois pontos críticos. Vamos ter quando x = -2, e quando x = 2. Desenhando esse gráfico,
nós temos os seguintes pontos: temos aqui o eixo y e temos aqui o eixo x, nós temos aqui o ponto -2 e temos aqui o ponto 2. Vemos que, quando x = 0,
y = -12. Portanto, ela passa por
este ponto: -12. O gráfico da nossa derivada
vai ser algo deste tipo aqui. Ela vai passar pelo ponto -12, as concavidades dela são para cima. O que acontece antes do ponto -2? Antes do ponto -2, ela é positiva. Significa que ela está crescendo. Nesse ponto -2,
ela para de crescer. Depois do ponto -2,
ela começa a decrescer e tem uma inclinação negativa. Nesse ponto 2... Acontece que, antes do ponto 2,
ela é negativa, portanto, ela está decrescendo. No ponto 2, ela para de decrescer. Após o ponto 2, ela começa a crescer. Ou seja, se nós analisarmos
o gráfico da nossa função x³ - 12x + 2, aqui nós vamos ter
um ponto em que ela crescia e depois passa a decrescer. Ou seja, nós vamos ter
um ponto de máximo. Neste ponto aqui, ela estava decrescendo
e passa a crescer. Portanto, nós vamos ter... Neste ponto aqui, ela estava decrescendo
e passa a crescer. Portanto, esse vai ser um ponto de máximo, e este aqui vai ser um ponto de mínimo. Vamos tentar agora esboçar o gráfico
da nossa função do terceiro grau. Nós vamos ter alguns pontos. Lógico que não está em escala. Nós temos x e y. Quando for no ponto 2...
Ele é um ponto crítico. Então, vamos colocar aqui. Quando for no ponto -2,
esse também é um ponto crítico. Temos um ponto em que ela passa
quando x = 0. Aqui vai dar zero,
ela vai passar pelo ponto 2. Lembre-se que não está em escala. Ela vai passar por um ponto 2. No ponto de máximo...
Neste ponto de máximo, que é -2, nós vamos ter:
f(-2) = (-2)³ - 12 vezes (- 2) + 2. Ou seja, vamos ter: 8 + 24... Desculpa, aqui é -8,
porque está na terceira... -8 + 24 + 2, o que vai dar
16 + 2 = 18. Portanto, ela vai passar
no ponto de máximo, no ponto aqui,
vamos colocar 18. Então, aqui vai ser
um ponto de máximo. O ponto de mínimo... Vamos colocar em outra cor. O ponto de mínimo
vai ser quando x = 2. Portanto, nós temos:
2³ - 12 vezes 2 + 2. Ou seja, nós temos:
8 - 24 + 2. Isso vai dar
-16 + 2 - 14. Então, ela vai passar por um ponto
de mínimo aqui em -14. Portanto, é -14 quando x = 2.
Esse é um ponto de mínimo. Agora já podemos esboçar
a nossa função do terceiro grau. Aqui é um ponto de máximo, portanto, ela estava crescendo,
e aqui nós estamos... Pela derivada, sabemos que ela é positiva, portanto, ela estava crescendo. Quando chega neste ponto,
ela é zero, então, a inclinação dela é zero. Depois desse ponto, a inclinação
começa a ser para baixo. Então, aqui a inclinação dela é zero. Ela vai passar pelo ponto 2
e vai decrescendo, decrescendo... Ela está decrescendo até o ponto x = 2. Nesse ponto, ela muda o sentido de decrescer para começar
a crescer novamente. Nós temos aqui negativo, que significa
que ela está decrescendo. Neste ponto, ela é zero. Portanto, a derivada é zero nesse ponto. A partir desse ponto,
ela começa a crescer. Então, nós temos agora o esquema
da nossa função do terceiro grau.