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Transcrição de vídeo

vamos tentar usar aqui tudo o que sabemos sobre derivados concavidades pontos máximos e mínimos pontos de inflexão para desenhar num gráfico uma função sem usar uma calculadora gráfica então pra começar a fazer isso vamos admitir que nossa função fdx que seja igual a três vezes x elevado a 4 - quatro vezes x elevado ao cubo mais dois e é claro que podemos esgotar o gráfico da função apenas variando os pontos mas queremos nos concentrar nos pontos que são interessantes e é por isso que nós vamos pegar a forma geral da função e tocar especificamente nas informações que podemos tirar dessa função utilizando o nosso kit de ferramentas de cálculo o nosso kit de derivadas a primeira coisa então que nós temos que descobrir são os pontos críticos então deixa eu escrever aqui nós queremos descobrir os pontos críticos e isso vem para relembrar o que são pontos críticos eles são os pontos onde a derivada de fdx é igual a zero então os pontos críticos são os pontos em que heath linha de x é igual a zero ou que são inexistentes nessa função aqui parece ser diferenciável em todos os pontos então por esse motivo os pontos críticos que nós temos que nos preocupar é basicamente os pontos em que é filha de x é igual a zero essa derivada é filha de che será na verdade definida em relação ao domínio vamos calcular que a derivada dela então a derivada de 3x elevado a 4 vai ser igual a quatro vezes três e quatro vezes três é igual a 12 e vai ser 12 levado a 4 - 1 que é igual a 3 então nós vamos ter 12 vezes x elevado ao cubo agora derivada de quatro vezes x ao cubo vai ser igual a três vezes 4 que também é igual a doze vezes x elevado a 3 - 1 que a 2 e aqui nós temos uma constante é derivada de uma constante é igual a zero afinal de contas a inclinação da constante você já deve saber é que vale a 0 a final por definição o instante não está mudando isso aqui seria efe linha de x vamos descobrir os pontos críticos então os pontos críticos ocorrem quando isso aqui vai ser igual a zero ou inexistente observando bem essa função é filha de x nós podemos perceber que ela é definida em todo o domínio real certo então poderia colocar qualquer número aqui que não teríamos nenhum problema você vai me dar resposta do que a função é então isso daqui é definido em todos os lugares por isso vamos apenas descobrir onde é filhinha é igual a zero então vamos rescrever essa derivada é filhinho aqui do lado 12x ao cubo menos 12 x ao quadrado sendo igual a zero então nós temos que encontrar os pontos em que essa função é filhinha seja igual a zero e como que nós podemos resolver isso se a gente observar que a gente pode ver que o 12x ao quadrado pode ser colocado em evidência certo e aqui na primeira parte a gente vai ter apenas um x na segunda parte apenas um então nossa função ficaria 12x ao quadrado vezes x - um sendo igual a zero claro eu decidi escrever dessa forma mas você poderia utilizar outros caminhos que também daria certo o motivo pelo qual eu fiz isso foi porque pra resolver pra 0 ou se eu quero todos os x que fazem com que essa equação seja igual a zero essa forma vai me ajudar a encontrar isso já que eu estou multiplicando uma coisa por uma outra coisa e para que toda essa equação seja igual a zero uma ou ambas deve ser igual a zero então vamos tomar aqui o primeiro caso em que 12 x ao quadrado seja igual a zero pra que isso seja igual a zero é necessário que um x seja igual a zero agora a gente também poderia ter-se outro termo aquecendo igual a zero e pra quê x - um seja igual a zero é necessário que o x seja igual a 1 então os nossos dois pontos críticos aqui dessa função são quando x é igual a zero quando x é igual a um allenby se esses são apenas os pontos onde a nossa primeira derivada é igual a zero onde a inclinação igual a zero e por esse motivo esses pontos são pontos de máximos ou mínimos ou também pontos de inflexão enfim não sabemos ainda disso sabemos apenas que eles são pontos críticos eu acho que isso é tudo que eu posso dizer nesse momento eles são pontos interessantes que devem ser observados mas vamos continuar e tentar entender a concavidade pra gente talvez entender melhor esse gráfico o que nós temos que fazer agora é encontrar a segunda derivada para a gente encontrar a segunda derivada da função efe basta deriva' a função é filha de x e aí nós vamos ter efe duas linhas e efe duas linhas vai ser igual a 36 vezes x elevada ao quadrado menos 24 x agora que já encontramos a segunda derivada podemos encontrar a concavidade ou seja dentro de um intervalo o gráfico será com o carro para cima ou côncavo para baixo vamos descobrir em qualquer um desses pontos críticos e tudo vai começar a se encaixar a lembre se que se a côncavo para cima temos um gráfico com uma forma de u esse é côncavo para baixo então temos uma espécie de um de cabeça para baixo lembrando que efe duas linhas é a nossa segunda derivada e para determinar essa concavidade nós precisamos encontrar os pontos x em que essa segunda derivada seja igual a zero nos pontos em que a segunda derivada for igual a zero a gente tem pontos de transição entre as com cavidades bem vamos encontrar agora a segunda derivada nesses pontos críticos tudo bem inicialmente segunda derivada para x sendo igual a zero a gente vai ter algo igual a zero então efe duas linhas vai ser igual a zero e aqui nesse ponto a gente não tem nada nem com o campo para cima e nem conca ou para baixo isso então pode ser um ponto de transição ou não também se for um ponto de transição pode ser um ponto de inflexão mas ainda não temos certeza a respeito disso agora vamos calcular efe duas linhas para o x sendo igual a um isso aqui vai ser 36 - 24 e 36 - 24 é igual a 12 e o valor é positivo nossa segunda derivada é positiva quando x é igual a 1 e o quê isso significa isso significa que a inclinação está aumentando a taxa de alteração na nossa inclinação é positiva então nesse ponto aqui temos uma concavidade voltada para cima isso sugere que esse ponto x igual a um seja provavelmente um ponto de mínimo a inclinação é zero aqui mas temos uma concavidade para cima nesse ponto isso é algo muito interessante vamos ver se por aqui tem um potencial ponto de inflexão já sabemos que esse daqui é um potencial ponto de inflexão não sabemos se nossa função realmente tem um ponto de transição nesse ponto e vamos ter que experimentar um pouco para ver se isso realmente é o caso mas aproveitando vamos ver se existem outros pontos de inflexão ou potenciais pontos de inflexão e para determinar isso a gente precisa saber quais os pontos em que essa segunda derivada é igual a zero então pra fazer isso vamos colocar aqui 36 vezes x ao quadrado menos 24 sendo igual a zero e vamos resolver para a x vamos faturar também igual a gente fez anteriormente podemos colocar em evidência ou 12x assim a gente vai ter 12 x vezes 3x menos dois e isso sendo igual a zero toda vez que a gente faz isso para essa função seria igual a zero um dos dois termos aqui tem que ser igual a zero primeiramente a gente vai fazer 12 vezes x igual a zero pra quê 12x seja igual a zero é necessário que o x seja igual a zero por outro lado a gente pode ter 3 x - 2 sendo igual a zero e para que 3 x - 2 seja igual a zero é necessário que 3x seja igual a 2 e pra quê 3x seja igual a dois é necessário que x seja igual a dois terços bem nós já encontramos um ponto interessante antes que foi o xv igual a zero ponto a ser observado e este aqui é um outro ponto que tem que ser observado quando x é igual a dois terços que provavelmente deve ser um ponto de inflexão e a razão disso é porque a segunda derivada é definitivamente zero nesse ponto se a gente colocar dois textos aqui teremos algo igual a zero e aí o que nós temos que fazer agora vê-se a segunda derivada é positiva ou negativa em cada lado de dois terços ea gente já pode ter uma ideia disso e para fazer isso a gente pode tentar alguns números nem vamos tentar para 1 x maior que dois terços vamos ver o que acontece com a segunda derivada quando x for maior que dois terços qual vai ser a segunda derivada nesse caso bem vamos tentar um valor que seja algo muito próximo apenas para você ter uma idéia das coisas este é o rei escrever efe duas linhas aqui de x então efe duas linhas de xixi vai ser igual a 12 x vezes 3x menos dois se x for maior que dos textos esse termo aqui é positivo isso é algo que definitivamente não resta dúvida mas e esse outro termo aqui três vezes dois terços de -2 é exatamente igual a zero certo afinal a gente vai ter 2 - 2 que é igual a zero mas qualquer coisa maior do que isso três vezes qualquer coisa por exemplo se aqui no lugar do x eu tivesse 2,1 / 3 2,1 / 3 já é um valor maior que dois terços definitivamente isso seria um valor positivo certo então esse termo que também vai ser positivo o que isso significa isso significa que quando x é maior que dois terços a segunda derivada vai ser positiva ou seja isso vai ser maior que zero assim observando todo o nosso domínio quando x é maior que dois terços teremos uma função com a concavidade voltada para cima e nós podemos ver isso aqui no x igual a um temos uma concavidade voltada para cima mas agora quando x é menor que dois terços deixou reescrever novamente efe duas linhas de x ef duas linhas de x é igual a 12 x vezes 3x menos dois bem se a gente for aqui pra esquerda a gente vai ter um número negativo isso deve ser negativo mas se formos logo antes de dois terços onde ainda estamos no campo do positivo o que vai acontecer se a gente colocar aqui 1,9 sobre três que é uma mistura de desse mal e uma fração ou mesmo um terço ainda teremos um valor positivo ok logo abaixo de dois terços isso ainda vai ser positivo afinal estaremos multiplicando 12 por um número positivo mas o que acontece aqui desse lado no dois terços temos exatamente 0 mas conforme vamos para qualquer coisa menor que dois terços três vezes um texto por exemplo é apenas um e 1 - 2 será um valor negativo então quando x é menor que dois terços vamos ter um valor negativo ou seja a segunda derivada quando x é menor que dois terços teremos um valor menor quiser uma segunda derivada de x menor que 0 agora olha que legal observe bem o ponto dois terços quando a gente observa a esquerda dois textos ea gente tem uma segunda derivada negativa e quando a gente observa a direita de dois textos e nós temos uma segunda derivada positiva nós temos aqui nesse ponto um ponto de inflexão então x é igual a dois terços é definitivamente um ponto de inflexão para a nossa função original lá em cima só que a gente ainda tem um outro candidato a ponto de inflexão para poder então representar graficamente essa função a final depois que a gente consegue avaliar os pontos de inflexão de máximo e mínimo podemos representar graficamente a função então vamos ver agora esse ponto x sendo igual a zero se é de fato um ponto de inflexão sabemos que a segunda derivada em x igual a zero é igual a zero mas o que acontece com a segunda derivada antes do 0 e depois do zero bem podemos testar isso aqui também quando x é deixou desenhar uma linha para que você não se confunda com todas as coisas que eu escrevi aqui quando x é maior do que zero o que está acontecendo com a segunda derivada lembre-se a segunda derivada é igual a 12 x vezes 3x menos dois eu gosto de escrever dessa forma porque aí a gente pode decomporem duas expressões lineares e poder ver cada um deles será positivo ou negativo então vamos observar que o número depois do 0 número acima de zero número que seja algo bem próximo de zero então vamos supor que seja 0,1 nós teríamos 12 vezes um número positivo que seria positivo e aqui nós teríamos três vezes 0,1 que seria 0,3 menos dois que seriam o número negativo certo olha só bem a primeira parte 12x qualquer número acima de zero vai ser positivo agora com 3 x - dois nem sempre isso vai acontecer já que se a gente tiver 0,1 que apesar de ser um número positivo é um número muito próximo de zero e toda essa expressão aqui será negativa assim enche de maior quiser a segunda derivada vai ser inferior a 0 e assim teremos uma concavidade para baixo o que faz todo o sentido porque em algum momento vamos encontrar uma transição lembre-se que temos uma concavidade para baixo antes de chegar dois terços certo portanto isso daqui é algo bem consistente com o que a gente fez antes de 0 a dois terços teremos uma concavidade voltada para baixo e depois de dois terços teremos uma concavidade voltada para cima agora vamos ver o que acontece quando x é apenas um pouco menor do que zero é mais uma vez a gente coloca que efe duas linhas a segunda derivada de x que é igual a 2 x vezes 3x -2 certo se x força 0,1 negativo ou 0,0001 negativo isso não vai importar na verdade porque de qualquer forma a gente vai ter um valor negativo aqui nessa expressão algo bem aqui você vai ter 12 x que só vai ter resultado negativo caso x seja abaixo de zero pizzi essa outra expressão aqui vamos ver o que acontece se a gente tem três vezes 0,1 negativo será menos 0,3 menos 0,3 menos dois é menos 2,3 que definitivamente será um valor negativo então aqui será negativo e aqui quando se subtrai de um negativo também teremos um negativo agora multiplicando negativo puro negativo teremos um valor positivo então na verdade quando a gente tem x abaixo de zero ou seja 1 x sendo negativo a segunda derivada será positiva eu sei que isso parece ser um pouco confuso mas é só agora que a gente tenha recompensa de todo esse trabalho temos todas as coisas interessantes acontecendo sabemos que em x igual a 1 e deixa eu escrevi isso aqui em baixo então quando che é igual a um nós já descobrimos quem x igual a uma inclinação é zero em inclinação igual a zero isso porque a primeira derivada é igual a zero e esse aqui é um ponto crítico e também estamos lidando com a idéia de concavidade em cima certo assim esse será um ponto de mínimo e vamos usar até as coordenadas para representar isso graficamente e esse é o objetivo desse vídeo então efe de um será igual ao que heath de um vamos voltar aqui pra ver a nossa função original nós vamos ter três vezes um certo elevado a 4 que apenas um então a gente vai ter nessa primeira parte três vezes 1 - quatro vezes um elevado ao cubo que é um e quatro vezes 1 e 4 então a gente vai ter três - 4 + 2 e 3 - quatro mais dois é igual a um então a função quando x é igual a um vai ser igual a 1 agora também temos um outro ponto aqui certo quando x é igual a zero e que descobrimos que a inclinação nesse ponto também é igual a zero mas descobrimos também que esse aqui é um ponto de inflexão a concavidade muda imediatamente antes e imediatamente depois por isso que esse é um ponto de inflexão quando x é negativo nós temos uma concavidade voltada para cima e quando x é maior que zero positivo nós temos uma concavidade voltada para baixo um pouquinho acima do x igual a zero não é em todo o domínio ok agora podemos encontrar coordenado também substituindo esse valor na função original só assim que nós poderemos representar essa função graficamente fdx igual a zero é muito fácil a gente vai ter três vezes 0 - 4 vezes eram mais dois isso vai ser igual a 2 então fdx igual a zero é igual a 2 finalmente temos o ponto em que x é igual a dois terços e deixe me fazer isso aqui com uma outra curta temos o x100e igual a dois terços e também descobrimos que esse é um ponto de inflexão a inclinação definitivamente não é zero nesse ponto porque não era um dos pontos críticos lembrando que quando x é menor que dois terços a gente tinha uma segunda derivada negativa portanto concavidade é voltada para baixo e quando x é maior que 2 textos nós temos uma segunda derivada positiva logo a concavidade voltada para cima agora poderíamos descobrir o que é a função quando x é igual a dois terços certo isso é um pouco complicado e não é necessário fazer isso agora podemos apenas fazer uma boa representação apenas com que a gente já tem em mãos então vamos fazer um recorte aqui deixa fazer um gráfico aqui agora vai ser um gráfico meio tosco mas eu acho que dá pra representar bem nós temos aqui fazer os lixos e queremos representar graficamente o ponto 02 x igual a zero y igual a dois ou a função de x igual a 2 e aí podemos dizer que esse ponto 02 está bem aqui portanto esse xis igual a zero e subindo 12 temos o ponto aqui portanto esse é o ponto 0 2 agora nós temos o ponto em que x é igual a 1 e fdx igual a 1 vai ser um certo então nosso ponto vai ser um que é esse ponto aqui agora nós temos o outro ponto que é x igual a dois terços que é o nosso ponto de inflexão assim quando x é igual a dois terços que não localizamos exatamente o número efe de dois terços talvez seja algo por aqui digamos que heath de dois terços seja algo mais ou menos por aqui esse é o nosso ponto em que x é igual a dois terços está você pode calcular isso substituindo sx igual a dois terços lá na função mas estamos apenas queremos representar graficamente então basta colocar um valor aproximado aqui sabemos que em x igual a uma inclinação é zero então temos algum plano aqui sabemos que a contabilidade é voltada para cima então parece que durante esse intervalo temos uma concavidade para cima mas a concavidade para cima a partir de que ponto a partir de x igual a dois terços certo sabemos que x a partir de dois terços teremos uma concavidade voltada para cima e é por isso que eu sou capaz de desenhar isso aqui em forma de u sabemos também que quando x é menor que dois terços e maior que zero temos uma concavidade voltada para baixo então gráfico teria algo parecido com isso ao longo desse intervalo uma concavidade para baixo de bem aqui durante esse intervalo a inclinação diminui e você poderia ver isso desenhando as linhas tangentes em cada um desses e aí você vai ver que ela vai ficando cada vez mais negativa mais negativa mais negativa até esse ponto de inflexão que a então vai começar a aumentar porque temos uma concavidade voltada para cima e finalmente o último intervalo que há valores de x menores de zero em que teremos uma concavidade voltada para cima então gráfico vai se parecer com isso aqui o gráfico vai ter essa aparência também sabemos que em x igual a zero que era um ponto crítico a inclinação vai ser igual a zero assim teremos um gráfico plano naquele ponto já que x igual a zero um ponto de inflexão com inclinação sendo igual a zero é isso aqui o esboço do nosso gráfico final estamos prontos agora depois de todo esse trabalho já sabemos usar a habilidade de cálculo e conhecimentos de pontos de inflexão e transição e com qualidade para representar uma função graficamente provavelmente isso aqui vai ser algo que vai aparecer quando você utilizar sua calculadora gráfica
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