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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 5
Lição 10: Conexão entre uma função e suas derivadas de primeira e segunda ordem- Justificativa baseada em cálculo para uma função crescente
- Justificativa usando a derivada de primeira ordem
- Justificativa usando a derivada de primeira ordem
- Justificativa usando a derivada de primeira ordem
- Pontos de inflexão dos gráficos de funções e derivadas
- Justificativa usando a derivada de segunda ordem: ponto de inflexão
- Justificativa usando a derivada de segunda ordem: ponto de máximo
- Justificativa usando a derivada de segunda ordem
- Justificativa usando a derivada de segunda ordem
- Conexão gráfica entre f, f', e f''
- Conexão gráfica entre f, f', e f'' (outro exemplo)
- Conexão gráfica entre f, f', e f''
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Justificativa usando a derivada de segunda ordem
"Racicínios com base no cálculo" envolvendo a derivada de segunda ordem de uma função podem ser usados para justificar afirmações sobre a concavidade da função original e seus pontos de inflexão.
Aprendemos que a derivada de primeira ordem f, prime nos dá informações sobre onde f é crescente ou decrescente, e sobre onde f tem pontos extremos.
A derivada de segunda ordem f, start superscript, prime, prime, end superscript nos fornece informações sobre a concavidade da função original f e sobre onde f tem pontos de inflexão.
Vamos revisar do que a concavidade se trata.
Uma função é côncava para cima quando a sua inclinação está aumentando. Visualmente, um gráfico côncavo para cima tem a forma de uma taça, \cup.
Da mesma forma, uma função é côncava para baixo quando sua inclinação está diminuindo. Graficamente, um gráfico côncavo para baixo tem a forma de uma tenda, \cap.
Um ponto de inflexão é onde uma função muda de concavidade.
Como f, start superscript, prime, prime, end superscript nos informa sobre a concavidade de f
Quando a derivada de segunda ordem f, start superscript, prime, prime, end superscript é positiva, isso quer dizer que f, prime é crescente, o que significa que f é côncava para cima. Da mesma forma, um valor negativo de f, start superscript, prime, prime, end superscript significa que f, prime é decrescente e f é côncava para baixo.
f, start superscript, prime, prime, end superscript | f, prime | f |
---|---|---|
positiva plus | crescente \nearrow | côncava para baixo \cup |
negativa minus | decrescente \searrow | côncava para baixo \cap |
cruza o eixo x (muda de sinal) | ponto extremo (muda de direção) | ponto de inflexão (muda de concavidade) |
Aqui está um exemplo gráfico:
f, start superscript, prime, prime, end superscript | f, prime | f |
---|---|---|
Observe como f é start color #aa87ff, start text, c, o, n, c, a, v, a, space, p, a, r, a, space, b, a, i, x, o, end text, end color #aa87ff à esquerda de x, equals, c e start color #1fab54, start text, c, o, n, c, a, v, a, space, p, a, r, a, space, c, i, m, a, end text, end color #1fab54 à direita de x, equals, c.
Erro comum: confundir a relação entre f, f, prime e f, start superscript, prime, prime, end superscript
Lembre-se que para que f seja côncava para cima, f, prime precisa ser crescente e f, start superscript, prime, prime, end superscript precisa ser positiva. Outros comportamentos de f, f, prime, e f, start superscript, prime, prime, end superscript não são necessariamente relacionados.
Por exemplo, no problema 1 acima, f, start superscript, prime, prime, end superscript é côncava para cima no intervalo open bracket, minus, 8, comma, minus, 2, close bracket, mas isso não significa que f é côncava para cima nesse intervalo.
Quer praticar mais? Tente este exercício.
Erro comum: interpretar mal as informações gráficas apresentadas
Imagine um aluno resolvendo o problema 2 acima, achando que o gráfico é da derivada de primeira ordem de h. Nesse caso, h teria um ponto de inflexão em A e B, porque esses são os pontos onde h, prime muda de direção. Esse aluno estaria errado, pois esse é o gráfico da derivada de segunda ordem e a resposta correta é D.
Lembre-se sempre de confirmar que entendeu as informações fornecidas. Temos o gráfico da função f, da derivada de primeira ordem f, prime ou da derivada de segunda ordem f, start superscript, prime, prime, end superscript?
Como usar a derivada de segunda ordem para determinar se um ponto de extremo é um mínimo ou um máximo
Imagine que temos que a função f tem um ponto de extremo em x, equals, 1 e que ela é côncava para cima no intervalo open bracket, 0, comma, 2, close bracket. Nós podemos dizer, com base nessas informações, se o ponto de extremo é um mínimo ou um máximo?
A resposta é SIM. Lembre-se que quando uma função é côncava para cima ela tem a forma de uma taça \cup. Uma curva com essa forma poderá ter apenas um ponto mínimo.
Da mesma forma, quando uma função côncava para baixo tiver um extremo, esse extremo deverá ser um ponto máximo.
Quer praticar mais? Tente este exercício.
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