"Racicínios com base no cálculo" envolvendo a derivada de segunda ordem de uma função podem ser usados para justificar afirmações sobre a concavidade da função original e seus pontos de inflexão.
Aprendemos que a derivada de primeira ordem ff' nos dá informações sobre onde ff é crescente ou decrescente, e sobre onde ff tem pontos extremos.
A derivada de segunda ordem ff'' nos fornece informações sobre a concavidade da função original ff e sobre onde ff tem pontos de inflexão.

Vamos revisar do que a concavidade se trata.

Uma função é côncava para cima quando a sua inclinação está aumentando. Visualmente, um gráfico côncavo para cima tem a forma de uma taça, \cup.
Da mesma forma, uma função é côncava para baixo quando sua inclinação está diminuindo. Graficamente, um gráfico côncavo para baixo tem a forma de uma tenda, \cap.
Um ponto de inflexão é onde uma função muda de concavidade.

Como ff'' nos informa sobre a concavidade de ff

Quando a derivada de segunda ordem ff'' é positiva, isso quer dizer que ff' é crescente, o que significa que ff é côncava para cima. Da mesma forma, um valor negativo de ff'' significa que ff' é decrescente e ff é côncava para baixo.
ff''ff'ff
positiva ++crescente \nearrowcôncava para baixo \cup
negativa -decrescente \searrowcôncava para baixo \cap
cruza o eixo xx (muda de sinal)ponto extremo (muda de direção)ponto de inflexão (muda de concavidade)
Aqui está um exemplo gráfico:
ff''ff'ff
Observe como ff é concava para baixo\purpleC{\text{concava para baixo}} à esquerda de x=cx=c e concava para cima\greenD{\text{concava para cima}} à direita de x=cx=c.

Erro comum: confundir a relação entre ff, ff' e ff''

Lembre-se que para que ff seja côncava para cima, ff' precisa ser crescente e ff'' precisa ser positiva. Outros comportamentos de ff, ff', e ff'' não são necessariamente relacionados.
Por exemplo, no problema 1 acima, ff'' é côncava para cima no intervalo [8,2][-8,-2], mas isso não significa que ff é côncava para cima nesse intervalo.
Quer praticar mais? Tente este exercício.

Erro comum: interpretar mal as informações gráficas apresentadas

Imagine um aluno resolvendo o problema 2 acima, achando que o gráfico é da derivada de primeira ordem de hh. Nesse caso, hh teria um ponto de inflexão em AA e BB, porque esses são os pontos onde hh' muda de direção. Esse aluno estaria errado, pois esse é o gráfico da derivada de segunda ordem e a resposta correta é DD.
Lembre-se sempre de confirmar que entendeu as informações fornecidas. Temos o gráfico da função ff, da derivada de primeira ordem ff' ou da derivada de segunda ordem ff''?

Como usar a derivada de segunda ordem para determinar se um ponto de extremo é um mínimo ou um máximo

Imagine que temos que a função ff tem um ponto de extremo em x=1x=1 e que ela é côncava para cima no intervalo [0,2][0,2]. Nós podemos dizer, com base nessas informações, se o ponto de extremo é um mínimo ou um máximo?
A resposta é SIM. Lembre-se que quando uma função é côncava para cima ela tem a forma de uma taça \cup. Uma curva com essa forma poderá ter apenas um ponto de mínimo.
Da mesma forma, quando uma função côncava para baixo tiver um extremo, esse extremo deverá ser um ponto de máximo.
Quer praticar mais? Tente este exercício.
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