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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 5
Lição 10: Conexão entre uma função e suas derivadas de primeira e segunda ordem- Justificativa baseada em cálculo para uma função crescente
- Justificativa usando a derivada de primeira ordem
- Justificativa usando a derivada de primeira ordem
- Justificativa usando a derivada de primeira ordem
- Pontos de inflexão dos gráficos de funções e derivadas
- Justificativa usando a derivada de segunda ordem: ponto de inflexão
- Justificativa usando a derivada de segunda ordem: ponto de máximo
- Justificativa usando a derivada de segunda ordem
- Justificativa usando a derivada de segunda ordem
- Conexão gráfica entre f, f', e f''
- Conexão gráfica entre f, f', e f'' (outro exemplo)
- Conexão gráfica entre f, f', e f''
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Justificativa usando a derivada de primeira ordem
Vamos examinar com atenção como o comportamento de uma função está relacionado ao comportamento de sua derivada. Esse tipo de raciocínio é chamado de "raciocínio baseado em cálculo." Aprenda como aplicá-lo corretamente.
Uma derivada f, prime nos dá muitas informações interessantes sobre a função original f. Vamos dar uma olhada.
Como f, prime nos diz onde f é crescente ou decrescente
Lembre-se de que uma função é crescente quando, conforme os valores de x aumentam, os valores da função também aumentam.
Graficamente, isso significa que conforme avançamos para a direita, o gráfico se move para cima. De modo similar, uma função decrescente se move para baixo à medida que vamos para a direita.
Agora, suponha que não temos o gráfico de f, mas temos o gráfico da sua derivada, f, prime.
Nós ainda podemos dizer quando f é crescente ou decrescente, baseando-nos no sinal da derivada f, prime:
- Os intervalos em que a derivada f, prime é start color #1fab54, start text, p, o, s, i, t, i, v, a, end text, end color #1fab54 (ou seja, está acima do eixo x) são os intervalos onde a função f é start color #1fab54, start text, c, r, e, s, c, e, n, t, e, end text, end color #1fab54.
- Os intervalos em que f, prime é start color #aa87ff, start text, n, e, g, a, t, i, v, a, end text, end color #aa87ff (ou seja, está abaixo do eixo x) são os intervalos onde f é start color #aa87ff, start text, d, e, c, r, e, s, c, e, n, t, e, end text, end color #aa87ff.
Quando justificamos a propriedade de uma função baseando-nos em sua derivada, estamos usando um raciocínio com base em cálculo.
Erro comum: não relacionar o gráfico da derivada e seu sinal.
Quando estamos trabalhando com o gráfico da derivada, é importante lembrar que esses dois fatos são equivalentes:
- f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, is less than, 0 em um certo ponto ou intervalo.
- O gráfico de f, prime fica abaixo do eixo x nesse ponto/intervalo.
(O mesmo vale para f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, is greater than, 0 e o fato de que o gráfico está acima do eixo x.)
Como f, prime nos diz onde f tem um mínimo ou máximo relativo
Para que uma função f tenha um máximo relativo em um certo ponto, ela deve ser crescente antes desse ponto e decrescente depois desse ponto.
Exatamente no ponto máximo, a função nunca é crescente ou decrescente.
No o gráfico da derivada derivada f, prime, isso significa que o gráfico cruza o eixo x nesse ponto, portanto o gráfico fica acima do eixo x antes do ponto e abaixo do eixo x depois.
Erro comum: confundir a relação entre a função e sua derivada
Como vimos, o sinal da derivada corresponde à direção da função. No entanto, não podemos fazer qualquer justificativa baseada em quaisquer outros tipos de comportamentos.
Por exemplo, o fato de que a derivada é crescente não significa que a função seja crescente (ou positiva). Além do mais, o fato de que a derivada tem um máximo ou mínimo relativo em um certo valor de x não significa que a função deve ter um máximo ou mínimo relativo nesse valor de x.
Quer praticar mais? Tente este exercício.
Erro comum: usar linguagem obscura ou pouco específica.
Há vários fatores em jogo quando examinamos a relação entre a função e sua derivada: a própria função, a derivada da função, a direção da função, o sinal da derivada, etc. É importante ser extremamente claro sobre o que estamos falando.
Por exemplo, no Problema 4 acima, a justificativa correta baseada em cálculo para o fato de que h é crescente é que h, prime é positiva, ou que está acima do eixo x. A justificativa de um dos estudantes foi: "Está acima do eixo x." A justificativa não especifica o quê está acima do eixo x: o gráfico de h? O gráfico de h, prime? Ou qualquer outra coisa? Por não ser específica, essa justificativa não pode ser aceita.
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