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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 5
Lição 10: Conexão entre uma função e suas derivadas de primeira e segunda ordem- Justificativa baseada em cálculo para uma função crescente
- Justificativa usando a derivada de primeira ordem
- Justificativa usando a derivada de primeira ordem
- Justificativa usando a derivada de primeira ordem
- Pontos de inflexão dos gráficos de funções e derivadas
- Justificativa usando a derivada de segunda ordem: ponto de inflexão
- Justificativa usando a derivada de segunda ordem: ponto de máximo
- Justificativa usando a derivada de segunda ordem
- Justificativa usando a derivada de segunda ordem
- Conexão gráfica entre f, f', e f''
- Conexão gráfica entre f, f', e f'' (outro exemplo)
- Conexão gráfica entre f, f', e f''
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Justificativa usando a derivada de primeira ordem
Vamos examinar com atenção como o comportamento de uma função está relacionado ao comportamento de sua derivada. Esse tipo de raciocínio é chamado de "raciocínio baseado em cálculo." Aprenda como aplicá-lo corretamente.
Uma derivada nos dá muitas informações interessantes sobre a função original . Vamos dar uma olhada.
Como nos diz onde é crescente ou decrescente
Lembre-se de que uma função é crescente quando, conforme os valores de aumentam, os valores da função também aumentam.
Graficamente, isso significa que conforme avançamos para a direita, o gráfico se move para cima. De modo similar, uma função decrescente se move para baixo à medida que vamos para a direita.
Agora, suponha que não temos o gráfico de , mas temos o gráfico da sua derivada, .
Nós ainda podemos dizer quando é crescente ou decrescente, baseando-nos no sinal da derivada :
- Os intervalos em que a derivada
é (ou seja, está acima do eixo ) são os intervalos onde a função é . - Os intervalos em que
é (ou seja, está abaixo do eixo ) são os intervalos onde é .
Quando justificamos a propriedade de uma função baseando-nos em sua derivada, estamos usando um raciocínio com base em cálculo.
Erro comum: não relacionar o gráfico da derivada e seu sinal.
Quando estamos trabalhando com o gráfico da derivada, é importante lembrar que esses dois fatos são equivalentes:
em um certo ponto ou intervalo.- O gráfico de
fica abaixo do eixo nesse ponto/intervalo.
(O mesmo vale para e o fato de que o gráfico está acima do eixo .)
Como nos diz onde tem um mínimo ou máximo relativo
Para que uma função tenha um máximo relativo em um certo ponto, ela deve ser crescente antes desse ponto e decrescente depois desse ponto.
Exatamente no ponto máximo, a função nunca é crescente ou decrescente.
No o gráfico da derivada derivada , isso significa que o gráfico cruza o eixo nesse ponto, portanto o gráfico fica acima do eixo antes do ponto e abaixo do eixo depois.
Erro comum: confundir a relação entre a função e sua derivada
Como vimos, o sinal da derivada corresponde à direção da função. No entanto, não podemos fazer qualquer justificativa baseada em quaisquer outros tipos de comportamentos.
Por exemplo, o fato de que a derivada é crescente não significa que a função seja crescente (ou positiva). Além do mais, o fato de que a derivada tem um máximo ou mínimo relativo em um certo valor de não significa que a função deve ter um máximo ou mínimo relativo nesse valor de .
Quer praticar mais? Tente este exercício.
Erro comum: usar linguagem obscura ou pouco específica.
Há vários fatores em jogo quando examinamos a relação entre a função e sua derivada: a própria função, a derivada da função, a direção da função, o sinal da derivada, etc. É importante ser extremamente claro sobre o que estamos falando.
Por exemplo, no Problema 4 acima, a justificativa correta baseada em cálculo para o fato de que é crescente é que é positiva, ou que está acima do eixo . A justificativa de um dos estudantes foi: "Está acima do eixo ." A justificativa não especifica o quê está acima do eixo : o gráfico de ? O gráfico de ? Ou qualquer outra coisa? Por não ser específica, essa justificativa não pode ser aceita.
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