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Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 5

Lição 10: Conexão entre uma função e suas derivadas de primeira e segunda ordem
Matemática
Cálculo Avançado AB
Como aplicar derivadas à análise de funções
Conexão entre uma função e suas derivadas de primeira e segunda ordem
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Justificativa usando a derivada de primeira ordem

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Vamos examinar com atenção como o comportamento de uma função está relacionado ao comportamento de sua derivada. Esse tipo de raciocínio é chamado de "raciocínio baseado em cálculo." Aprenda como aplicá-lo corretamente.
Uma derivada f′ nos dá muitas informações interessantes sobre a função original f. Vamos dar uma olhada.

Como f′ nos diz onde f é crescente ou decrescente

Lembre-se de que uma função é crescente quando, conforme os valores de x aumentam, os valores da função também aumentam.
Graficamente, isso significa que conforme avançamos para a direita, o gráfico se move para cima. De modo similar, uma função decrescente se move para baixo à medida que vamos para a direita.
A função f está representada graficamente. O eixo x não é numerado. O gráfico consiste em uma curva. A curva se inicia no quadrante 3, move-se para cima, ou é crescente, com concavidade para baixo até um ponto no quadrante 2, move-se para baixo, ou é decrescente, com concavidade para baixo até um ponto no quadrante 4 e então se move para cima, ou é crescente, com concavidade para cima, e termina no quadrante 1.
Agora, suponha que não temos o gráfico de f, mas temos o gráfico da sua derivada, f′.
A função f linha é mostrada graficamente. O eixo x não é numerado. O gráfico consiste de uma curva em forma de U. A curva começa no quadrante 2, se move para baixo com concavidade para cima cruzando o eixo x negativo até um ponto no quadrante 4, se move para cima passando por um ponto no eixo x positivo e termina no quadrante 1.
Nós ainda podemos dizer quando f é crescente ou decrescente, baseando-nos no sinal da derivada f′:
  • Os intervalos em que a derivada f′ é positiva (ou seja, está acima do eixo x) são os intervalos onde a função f é crescente.
  • Os intervalos em que f′ é negativa (ou seja, está abaixo do eixo x) são os intervalos onde f é decrescente.
O gráfico da função f linha tem 3 partes destacadas. A parte do gráfico que se move para baixo no quadrante 2 é onde f linha é positiva e f é crescente. A parte do gráfico que se move para baixo no quadrante 3 e então para cima no quadrante 4 é onde f linha é negativa e f é decrescente. A parte do gráfico que se move para cima no quadrante 1 é onde f linha é positiva e f é crescente.
Quando justificamos a propriedade de uma função baseando-nos em sua derivada, estamos usando um raciocínio com base em cálculo.
Problema 1
Estas são duas justificativas válidas para o porquê de uma função f ser uma função crescente:
A. Conforme os valores de x aumentam, os valores de f também aumentam.
B. A derivada de f é sempre positiva.
Qual das alternativas acima é uma justificativa com base em cálculo ?
Escolha 1 resposta:

Problema 2
A função derivável f e sua derivada f′ são mostradas no gráfico.
Qual é uma justificativa com base em cálculo apropriada para o fato de que f é crescente quando x>3?
Escolha 1 resposta:

Erro comum: não relacionar o gráfico da derivada e seu sinal.

Quando estamos trabalhando com o gráfico da derivada, é importante lembrar que esses dois fatos são equivalentes:
  • f′(x)<0 em um certo ponto ou intervalo.
  • O gráfico de f′ fica abaixo do eixo x nesse ponto/intervalo.
(O mesmo vale para f′(x)>0 e o fato de que o gráfico está acima do eixo x.)

Como f′ nos diz onde f tem um mínimo ou máximo relativo

Para que uma função f tenha um máximo relativo em um certo ponto, ela deve ser crescente antes desse ponto e decrescente depois desse ponto.
Exatamente no ponto máximo, a função nunca é crescente ou decrescente.
A função f está representada graficamente. O eixo x não é numerado. O gráfico consiste em uma curva. A curva se inicia no quadrante 3, move-se para cima, ou é crescente, com concavidade para baixo até um máximo relativo no quadrante 2, move-se para baixo, ou é decrescente, com concavidade para baixo até um ponto no quadrante 4 e então se move para cima com concavidade para cima e termina no quadrante 1.
No o gráfico da derivada derivada f′, isso significa que o gráfico cruza o eixo x nesse ponto, portanto o gráfico fica acima do eixo x antes do ponto e abaixo do eixo x depois.
A função f linha é mostrada graficamente. O eixo x não é numerado. O gráfico consiste de uma curva em forma de U. A curva começa no quadrante 2, se move para baixo com concavidade para cima cruzando o eixo x negativo, onde f tem um máximo relativo, até um ponto no quadrante 4, se move para cima passando por um ponto no eixo x positivo e termina no quadrante 1.
Problema 3
A função derivável g e sua derivada g′ são mostradas no gráfico.
Qual é uma justificativa com base em cálculo apropriada para o fato de que g tem um ponto mínimo relativo em x=−3?
Escolha 1 resposta:

Erro comum: confundir a relação entre a função e sua derivada

Como vimos, o sinal da derivada corresponde à direção da função. No entanto, não podemos fazer qualquer justificativa baseada em quaisquer outros tipos de comportamentos.
Por exemplo, o fato de que a derivada é crescente não significa que a função seja crescente (ou positiva). Além do mais, o fato de que a derivada tem um máximo ou mínimo relativo em um certo valor de x não significa que a função deve ter um máximo ou mínimo relativo nesse valor de x.
Problema 4
A função derivável h e sua derivada h′ são mostradas no gráfico.
Foi pedido para quatro estudantes que eles dessem uma justificativa com base em cálculo apropriada para o fato de que h é crescente quando x>0.
Você consegue relacionar os comentários do professor com as justificativas dos estudantes?
1

Quer praticar mais? Tente este exercício.

Erro comum: usar linguagem obscura ou pouco específica.

Há vários fatores em jogo quando examinamos a relação entre a função e sua derivada: a própria função, a derivada da função, a direção da função, o sinal da derivada, etc. É importante ser extremamente claro sobre o que estamos falando.
Por exemplo, no Problema 4 acima, a justificativa correta baseada em cálculo para o fato de que h é crescente é que h′ é positiva, ou que está acima do eixo x. A justificativa de um dos estudantes foi: "Está acima do eixo x." A justificativa não especifica o quê está acima do eixo x: o gráfico de h? O gráfico de h′? Ou qualquer outra coisa? Por não ser específica, essa justificativa não pode ser aceita.

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