Conexão gráfica entre f, f', e f''

RKA14C Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos conversar sobre a relação entre os gráficos de uma função, de sua primeira derivada e de sua segunda derivada. Aqui nós temos três gráficos. O nosso objetivo neste vídeo é descobrir qual é o gráfico da função, qual é o gráfico da primeira derivada, e qual é o gráfico da segunda derivada. Como sempre, pause este vídeo e veja se você consegue trabalhar nisso por conta própria. E aí, fez? Vamos fazer juntos agora? Uma forma de atingir o nosso objetivo aqui é tentar esboçar o que podemos saber sobre a derivada de cada um desses gráficos, ou as funções representadas por esses gráficos. Neste primeiro gráfico nessa cor alaranjada, podemos ver que a inclinação é bastante positiva aqui, mas se torna a cada vez menos positiva a medida que a gente vai avançando, até este ponto em que a inclinação será zero. Aí, ela fica negativa e se torna cada vez mais e mais negativa. Sendo assim, a derivada desta curva bem aqui, ou a derivada da função representada por esta curva, vai começar razoavelmente positiva. Neste ponto, a derivada vai cruzar o zero porque a inclinação da reta tangente é zero neste ponto. Depois, vai ficar cada vez mais negativa, pelo menos durante o intervalo que nós temos aqui. Então, o gráfico da derivada pode se parecer com isto aqui, mais ou menos assim. Olha, eu não sei se é uma reta ou não... Pode até ser algum tipo de curva, mas definitivamente teria uma tendência a algo assim. Agora podemos dizer imediatamente que este gráfico azul não é a derivada deste gráfico laranja. Sua tendência é oposta. Durante este intervalo, está deixando de ser negativa para ser positiva ao invés de ir de positiva para negativa. Portanto, podemos descartar o gráfico azul como sendo a derivada do gráfico laranja. Mas e este gráfico aqui com uma cor rosa? Parece que tem uma tendência certa! Na verdade, ele cruza o eixo x no lugar certo, bem aqui. Pelo menos nesse intervalo, parece que é positivo daqui até aqui. Este gráfico é positivo quando a inclinação da reta tangente é positiva. E este gráfico é negativo quando a inclinação da reta tangente é negativa. Agora tem uma coisa que está me causando mal-estar para dizer imediatamente que este último gráfico é a derivada do primeiro gráfico. Principalmente porque não estamos acostumados com situações em que a derivada tem mais pontos extremos, mais mínimos e máximos do que a função original. Só que, neste caso aqui, pode ser apenas porque não estamos vendo toda a função original. Por exemplo, se este último gráfico aqui é de fato a derivada deste primeiro gráfico, então, o que vemos é a nossa derivada ser negativa bem aqui. Mas aí ela começa a se tornar menos negativa. Se este ponto corresponde mais ou menos a isto aqui, está mais ou menos aqui, aqui a nossa inclinação vai se tornar cada vez menos negativa. E, neste ponto, a nossa inclinação se tornaria zero, que seria mais ou menos aqui. Nesse caso, o nosso gráfico pode ser parecido com isto. Não apenas o que nós estamos vendo, afinal, ficou faltando uma parte no gráfico que observamos. Sendo assim, eu diria que este terceiro gráfico é um bom candidato a ser a derivada da primeira função. Então, vamos chamar isto aqui de f, e isto aqui de f'. Ok, agora vamos examinar o segundo o gráfico. Qual seria a aparência de sua derivada? Aqui a nossa inclinação é muito negativa, e vai se tornando cada vez menos negativa até chegarmos bem aqui, onde a nossa inclinação é zero. Sendo assim, a nossa derivada cruzaria o eixo x aqui neste ponto. A derivada começaria negativa, se tornaria cada vez menos negativa, cruzaria o eixo x neste ponto, e depois se tornaria cada vez mais positiva. Vemos a nossa derivada fazendo isso, se tornando cada vez mais positiva. Mas aparentemente ela se comporta como se estivesse ficando menos positiva novamente. Então, podemos ter algo mais ou menos assim, porque está se tornando menos positiva. E se torna cada vez menos positiva até chegar ao ponto onde a nossa derivada é igual a zero. A nossa derivada cruzaria o eixo x neste ponto. Olhando o gráfico, parece que, a partir deste ponto, a inclinação está ficando cada vez mais negativa. Observe que o que estou esboçando aqui se parece muito com este gráfico laranja. Ou seja, este gráfico laranja se parece muito com a derivada deste gráfico azul. Então, eu diria que a função representada por este gráfico é a derivada desta função que está aqui. Então, aqui teremos f'. Se este primeiro gráfico representa a derivada da função que está no meio, e o gráfico em rosa representa a derivada do primeiro gráfico, aqui temos f''. Bem, essa conclusão parece muito boa! Eu vou ficar com isto aqui, mas, se você quiser, por uma questão apenas de segurança, você pode tentar esboçar a derivada deste terceiro gráfico. Aliás, eu acho legal a gente fazer isto aqui. Aqui, inicialmente, temos uma inclinação positiva. Conforme a gente segue, a inclinação fica cada vez menos positiva, até atingir o zero. Sendo assim, a derivada pode se parecer com algo assim durante este intervalo. Depois disso, a inclinação da reta tangente vai ficando cada vez mais negativa, até um certo ponto. Depois, fica cada vez menos negativa até voltar a zero. Depois, ela fica positiva e cada vez mais positiva. Portanto, a derivada desta curva rosa parece ter uma parábola com a concavidade voltada para cima, deste jeito aqui. Bem, eu não vejo isso em nenhum dos outros gráficos. Então, realmente posso dizer que o primeiro gráfico é f', o segundo é f, ou seja, a função, e o terceiro é f'', a segunda derivada da função. Bem, meu amigo e minha amiga, espero que você tenha compreendido tudo direitinho o que conversamos aqui. Mais uma vez, eu quero deixar para você um grande abraço. Até a próxima!