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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 5
Lição 10: Conexão entre uma função e suas derivadas de primeira e segunda ordem- Justificativa baseada em cálculo para uma função crescente
- Justificativa usando a derivada de primeira ordem
- Justificativa usando a derivada de primeira ordem
- Justificativa usando a derivada de primeira ordem
- Pontos de inflexão dos gráficos de funções e derivadas
- Justificativa usando a derivada de segunda ordem: ponto de inflexão
- Justificativa usando a derivada de segunda ordem: ponto de máximo
- Justificativa usando a derivada de segunda ordem
- Justificativa usando a derivada de segunda ordem
- Conexão gráfica entre f, f', e f''
- Conexão gráfica entre f, f', e f'' (outro exemplo)
- Conexão gráfica entre f, f', e f''
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Conexão gráfica entre f, f', e f'' (outro exemplo)
Análise de três gráficos para ver qual deles descreve a derivada do outro.
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Transcrição de vídeo
RKA14C Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos conversar
sobre a relação entre os gráficos de uma função de sua primeira derivada e
de sua segunda derivada. Aqui nós temos três gráficos. O nosso objetivo neste vídeo é descobrir qual é o gráfico da função, qual é o gráfico da primeira derivada, e qual é o gráfico da segunda derivada. Como sempre, pause este vídeo e veja se você pode trabalhar
por conta própria antes de fazermos isso juntos. Ok, podemos fazer isso juntos agora? Uma forma de atingir esse objetivo
é tentar esboçar o que podemos saber sobre a derivada de cada um desses gráficos. Vamos começar com
este primeiro gráfico aqui. Podemos ver a derivada
desse gráfico por meio da inclinação da reta tangente. A inclinação começa levemente negativa. A medida que a gente avança, ela vai se tornar cada vez mais negativa. Perceba que, conforme a gente
se aproxima desta assíntota vertical, a curva vai tendendo a essa assíntota, a algo que parece ser
um infinito negativo. Sendo assim, a derivada que começa sendo um pouco menor do que zero vai ficando cada vez mais e mais negativa. E vai tender ao infinito negativo. Do outro lado, do lado direito
dessa assíntota vertical, nós temos algo parecido, só que vamos ter
a inclinação da reta tangente sendo muito negativa. A medida que a gente vai avançando, ela vai se tornando
cada vez menos negativa, até se aproximar de zero. Sendo assim, a derivada deste lado
começa supernegativa e se aproxima de zero, ou seja, tende a zero. Agora, com base no que
eu acabei de esboçar, parece que este azul
é um bom candidato para ser a derivada do primeiro gráfico. Mas será que você consegue me dizer
o que tem de errado com este gráfico azul? Bem, observe aqui que
este gráfico azul é positivo. Então, se esse gráfico representasse a derivada do gráfico da função
que está à esquerda, isso significaria que
o gráfico na esquerda precisaria de uma inclinação
positiva aqui no início. Mas, claramente, ela não tem
uma inclinação positiva. Na verdade, ela é inicialmente
um pouco negativa. A medida que avançamos, a inclinação vai
se tornando supernegativa. Agora, neste terceiro gráfico,
temos algo ligeiramente negativo, que depois se torna muito negativo. Sendo assim, talvez este aqui seja f, e talvez este terceiro gráfico seja f'. Agora, vamos olhar para o gráfico do meio. Como deve ser a sua derivada? O que a sua derivada faria? Aqui, a nossa inclinação
é ligeiramente negativa, e vai se tornando mais e mais negativa. Sendo assim, a derivada disso tem que ser ligeiramente negativa, e ficar cada vez mais negativa a medida que nos aproximamos
desta assíntota vertical. Do lado direito da assíntota vertical, a inclinação começa sendo muito positiva e, conforme a gente vai avançando, ela fica cada vez menos positiva. Ou seja, começamos com a nossa derivada
sendo muito positiva, e ela vai ficar cada vez menos positiva. Inclusive, a inclinação
vai continuar positiva, mas tendendo a zero. Então, o nosso gráfico vai
se parecer com isto aqui. Bem, o gráfico à esquerda
se parece muito com o que eu acabei de esboçar. Então, ele é um bom candidato
para representar a derivada deste gráfico azul
que está aqui no meio. Este gráfico, então, seria a função, e isso faria com que este f
aqui da esquerda se transformasse em f'. Então, já estabelecemos que este gráfico é a derivada do gráfico do meio. Sendo assim, mesmo que isso não seja f', pode ser f''. Então, eu me sinto bem
quanto a este primeiro gráfico ser a derivada do segundo gráfico. Apenas para garantir,
a gente pode pensar em como seria o gráfico da derivada
deste outro gráfico aqui. Aqui, a inclinação
é ligeiramente negativa. A medida que avançamos, fica cada vez mais e mais negativa. Então, a derivada teria
uma forma semelhante aqui. Aqui, a nossa derivada
seria muito positiva. Conforme avançássemos,
ela ficaria cada vez menos positiva. Ou seja, ela começa muito positiva, e fica cada vez menos positiva. De uma forma geral,
esta derivada se parece muito com este primeiro gráfico aqui. Mas o motivo de eu não dizer
que este primeiro gráfico é a derivada do gráfico à direita é porque este gráfico aqui à direita foi um bom candidato a ser a derivada
deste gráfico aqui à esquerda. Ou seja, eu me sinto muito bem
com o que selecionamos, em que este gráfico aqui do meio é f, o gráfico à esquerda
é a primeira derivada, e o gráfico à direita
é a segunda derivada. Enfim, meu amigo ou minha amiga, espero que você tenha compreendido
tudo direitinho o que nós vimos aqui. Mais uma vez, quero deixar para você
um grande abraço. Até a próxima!