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Justificativa usando a derivada de segunda ordem: ponto de inflexão

Podemos justificar se uma função tem um ponto de inflexão examinando onde a derivada de segunda ordem muda de sinal.

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Transcrição de vídeo

RKA14C Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos resolver um problema sobre pontos de inflexão. Esse problema diz o seguinte: A função duas vezes diferenciável g e a segunda derivada g'' estão representadas aqui no gráfico. Você pode ver isso bem aqui. Aqui, nós temos a nossa função g. Não vemos a sua primeira derivada, mas a sua segunda derivada está aqui nesta cor alaranjada. O problema continua dizendo: Quatro alunos foram questionados para dar uma justificativa apropriada, baseada em cálculo, para o fato de g ter um ponto de inflexão em x = -2. Eu acho que vou me sentir bem aqui, porque intuitivamente isso parece estar certo. Afinal, realmente, em x = -2 temos um ponto de inflexão. Não se esqueça que um ponto de inflexão é um ponto em que estamos alterando a nossa função de côncavo para baixo para côncavo para cima. Ou também de côncavo para cima para côncavo para baixo. Outra forma de pensar sobre isso é que neste ponto temos uma situação em que a inclinação da reta tangente vai de diminuindo para aumentando, ou de aumentando para diminuindo. Quando olhamos para isto aqui, parece que nossa inclinação está diminuindo. Ela é positiva, mas está diminuindo. Ela continua diminuindo até chegar a cerca de x = -2, onde parece que começa a aumentar. A inclinação fica cada vez menos negativa, fica zero, e depois continua aumentando, ficando positiva e cada vez mais positiva. Então, parece que de fato em x = -2 nós vamos de côncavo para baixo para côncavo para cima. Agora, uma justificativa baseada em cálculo é que poderíamos olhar para a nossa segunda derivada e ver onde a segunda derivada cruza o eixo x. Porque, onde a segunda derivada é negativa, significa que a nossa inclinação está diminuindo. Aí, a função é côncava para baixo. Agora, onde a segunda derivada é positiva, significa que a nossa primeira derivada está aumentando, que a inclinação da nossa função original está aumentando, e que a função é côncava para cima. Então, observe: de fato, a segunda derivada realmente cruza o eixo x em x = -2. Um detalhe: não basta ser apenas zero ou tocar no eixo x, ela precisa cruzar o eixo x para que tenha um ponto de inflexão ali. Agora que já vimos isso, vamos olhar as justificativas dos alunos, e também tentar relacionar aqui o que o professor diz para cada uma dessas justificativas. Bem, o primeiro diz aqui que a segunda derivada de g muda de sinal em x = -2. Bem, isso é exatamente o que estávamos falando, não é? Se a segunda derivada muda de sinal, que, neste caso, vai de negativo para positivo, isso significa que a nossa primeira derivada mudou de diminuindo para aumentando, o que é realmente bom para dizer que esta é uma justificativa baseada em cálculo. Então, pelo menos por agora, eu vou colocar: "Parabéns, você está correto!". Agora, o que o outro aluno disse? "Ele cruza o eixo x". Bem, isso é ambíguo! Afinal, o que está cruzando o eixo x? Se um aluno escrevesse isso, eu diria: "Do que você está falando? Da função, da primeira derivada, ou da segunda derivada?". Acredito que, neste caso, o professor diria para usar uma linguagem mais precisa, porque isso não pode ser aceito como uma justificativa correta. "A segunda derivada de g está aumentando em x = -2". Bem, não... isso não justifica, porque você tem um ponto de inflexão ali. Então, por exemplo, a segunda derivada está aumentando em x = -2,5... A segunda derivada está aumentando em x = -1... Mas você não tem um ponto de inflexão nesses lugares. Provavelmente, o professor diria que isso não justifica, porque g tem um ponto de inflexão. Agora, a última resposta do aluno. "O gráfico de g muda a concavidade em x = -2". Isso é verdade, mas isso não é uma justificativa baseada em cálculo. Afinal, o que queremos aqui é usar a nossa segunda derivada, conforme a primeira justificativa. Enfim, meu amigo ou minha amiga, espero que você tenha compreendido tudo direitinho. Mais uma vez, quero deixar aqui para você um grande abraço. Até a próxima!