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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 5
Lição 10: Conexão entre uma função e suas derivadas de primeira e segunda ordem- Justificativa baseada em cálculo para uma função crescente
- Justificativa usando a derivada de primeira ordem
- Justificativa usando a derivada de primeira ordem
- Justificativa usando a derivada de primeira ordem
- Pontos de inflexão dos gráficos de funções e derivadas
- Justificativa usando a derivada de segunda ordem: ponto de inflexão
- Justificativa usando a derivada de segunda ordem: ponto de máximo
- Justificativa usando a derivada de segunda ordem
- Justificativa usando a derivada de segunda ordem
- Conexão gráfica entre f, f', e f''
- Conexão gráfica entre f, f', e f'' (outro exemplo)
- Conexão gráfica entre f, f', e f''
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Justificativa usando a derivada de primeira ordem
Podemos explicar por que uma função é crescente, decrescente ou tem um máximo relativo usando informações sobre sua derivada de primeira ordem. Isso é chamado de justificativa baseada em cálculo.
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Transcrição de vídeo
RKA4JL - Olá, meu amigo ou minha amiga!
Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda
a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo vamos resolver dois exemplos
sobre a primeira derivada. O primeiro exemplo diz o seguinte: a função diferenciável f e sua derivada f'
são representadas graficamente. Aqui nós temos um gráfico onde y igual a f(x)
está representado aqui em azul e também temos f' que está representado aqui
com uma cor alaranjada. Continuando, qual é a justificativa apropriada,
baseada em cálculo, para o fato de que f está diminuindo
quando x é maior que 3? Podemos ver que na verdade esse realmente é o caso. Quando x é maior que 3
temos que nossa função está realmente diminuindo, ou seja, à medida que x aumenta, o valor y, o valor da função,
diminui. Agora uma boa justificativa baseada em cálculos,
sem nem mesmo olhar para as alternativas, é observando a derivada. A função diminui
se a inclinação da reta tangente é negativa. Isso significa que a derivada é negativa
e podemos ver isso aqui: quando x é maior que 3,
a derivada é maior que zero. Então essa é minha justificativa,
e olha que eu nem olhei ainda para as alternativas. Sendo assim eu diria que para x maior que 3,
f'(x) é menor que zero. Essa seria minha justificativa
sem nem olhar para as alternativas. Mas vamos ver as opções agora. f' está diminuindo
quando x é maior que 3? Bem, isso não está certo. O que nos interessa
é se f' é positiva ou negativa. Se f' for negativa, se for menor que zero,
então a função está diminuindo, ou seja, a inclinação da reta tangente será negativa. Ah, um detalhe: f' pode ser positiva
enquanto diminui. Por exemplo, f' poderia estar fazendo algo assim. E embora f' esteja diminuindo nessa situação,
o valor real da derivada seria positivo, o que significa que a função
estaria aumentando nesse cenário. Então eu vou descartar esta opção. A próxima: para valores de x maiores que 3, conforme os valores de x aumentam,
os valores de f(x) diminuem. Isso é realmente verdade. Essa é realmente a definição
para f estar diminuindo: conforme os valores de x aumentam,
os valores de f(x) diminuem. Mas isso não é uma justificativa
baseada em cálculo. Então eu vou descartar essa alternativa
aqui também. A próxima alternativa, agora: f' é negativo quando x é maior que 3. Isso é realmente o que escrevi aqui. Se f' é negativo, isso significa que a inclinação da reta tangente da nossa função original f vai ser inclinada para baixo, ou que nossa função está diminuindo. Então isso aqui parece bom. Essa aqui diz que f'(0)
é igual a 3 negativo. Essa alternativa está apenas apontando esse ponto. Isso não é relativo
ao intervalo que nos interessa. Aliás, isso nem é relevante
para quando x é maior que 3. Então definitivamente vamos descartar essa alternativa. Legal, mas vamos para o segundo exemplo agora. Aqui também somos informados que a função diferenciável g
e a sua derivada g' são representadas graficamente. Mais uma vez g está nessa cor azulada e g', que é a derivada,
está aqui nessa cor alaranjada. Qual é a justificativa apropriada,
baseada em cálculo, para o fato de que g tem um ponto mínimo relativo
em x igual a -3? Olhando aqui no gráfico realmente podemos perceber que quando x é igual a -3,
g é igual a -6. E aparentemente esse ponto realmente
é um ponto de mínimo. Então qual é a melhor justificativa? Mais uma vez,
sem olhar para as alternativas, eu diria que uma boa justificativa é que antes de chegarmos a x igual a -3,
nossa derivada é negativa e depois de x igual a -3
nossa derivada é positiva. Essa seria minha justificativa
e ela é uma justificativa baseada em cálculo porque se nossa derivada
for negativa antes desse valor, isso significa que estamos com a inclinação
voltada para baixo antes desse valor e se for positiva depois desse valor, isso significa que estamos com a inclinação
voltada para cima depois desse valor. E isso, sem dúvida, é uma boa justificativa
para o fato de que estamos com o ponto mínimo bem ali. Agora vamos ver as alternativas: o ponto onde x é igual a -3 é o ponto mais baixo aqui no gráfico de g
em seu intervalo circundante? Isso é verdade,
mas isso não é uma justificativa baseada em cálculo. Você nem teria que olhar para a derivada
para fazer essa declaração. Então vamos descartar essa daqui. g' tem um máximo relativo em 0,3? g' realmente tem um ponto máximo relativo em 0,3, mas isso não nos diz nada sobre se estamos em um ponto mínimo relativo em x igual a -3, então eu descarto essa opção aqui também. g'(-3) é igual a zero? Então, g'(-3) é igual a zero, e isso aqui nos diz que a inclinação da reta tangente da função vai ser zero bem aqui, mas isso por si só não é suficiente
para dizer que estamos em um ponto mínimo relativo. Por exemplo, eu poderia estar em um ponto
que faz alguma coisa assim onde temos uma reta tangente para cima, depois fica zero
e depois volta a ficar para cima, ou seja, a função volta aumentar. Ou ainda algo assim, onde a inclinação fica zero
e depois continua descendo. Então mesmo que você esteja em um ponto
onde a inclinação da reta tangente é zero, isso não significa que você está
em um ponto mínimo relativo. Então eu descarto essa opção aqui também. A última agora: g' cruza o eixo x de baixo para cima
em x igual a -3. g' cruza o eixo x de baixo para cima, então g' deixa de ser negativa
e passa a ser positiva. Isso significa que a inclinação das retas tangentes
de nossos pontos, conforme nos aproximamos de x igual a -3, deixa de ser inclinada para baixo
e passa a ser inclinada para cima. Isso é uma ótima justificativa
para o fato de estarmos em um ponto de mínimo relativo. Enfim, meu amigo ou minha amiga, eu espero que você tenha compreendido direitinho
o que conversamos e mais uma vez eu quero deixar para você
um grande abraço e até a próxima!