Teorema de Weierstrass

RKA10MP – Neste vídeo, vamos falar um pouco sobre o teorema do valor extremo. O teorema do valor extremo diz o seguinte: se uma função é contínua e está definida no intervalo fechado entre “a” e “b”, então existe, este é o sinal de existe, um valor máximo absoluto no intervalo e existe um valor mínimo absoluto no intervalo [a, b] considerado, e o intervalo é fechado. Então, vamos dar uma olhada graficamente para ver o que estamos dizendo. Vamos supor que aqui você tenha o eixo do f(x), aqui tenha “x”, aqui tenha f(x), aqui tenha o ponto “a” e aqui tenha o ponto “b”. Vamos supor que aqui seja o nosso f(a) e aqui seja o nosso f(b). Então, ela está definida nestes dois pontos: (a, f(a)) e (b, f(b)). Como é que a função pode ir de “a” para “b”? Ou seja, ela pode fazer alguma coisa deste tipo. Ela pode descer, subir e depois chegar em “b”. Com isso, ela tem o valor de mínimo aqui e tem o valor de máximo neste ponto. Vamos chamar este valor de mínimo de “c”. Então seria nosso f(c). E vamos chamar este valor de máximo de “d”, então este seria nosso f(d). O que significa isso? Significa que existe um “c” e um “d” pertencente a um intervalo fechado entre “a” e “b”, aqui é fechado, por isso que está entre colchetes, tal que f(c) é menor ou igual a f(x), que é menor ou igual a f(d), para todo “x” que pertença ao intervalo fechado [a, b]. Então, vamos ver essas duas condições, porque tem que ser contínua e porque tem que ser no intervalo fechado ab. Primeiro, vamos ver porque tem que ser contínua. Vamos colocar outro gráfico que saia de “a” e de “b”. Aqui temos “x”, temos f(x), temos “a”, temos “b”. E vamos supor que tenhamos nosso f(a) neste ponto, então ela é fechada neste ponto, portanto vamos botar uma chave neste ponto, e ela seja definida também em “b”, também seja definida, então temos o nosso f(b), portanto, ela também é um intervalo fechado e colocamos entre chaves. A maneira dela ir de “a” para “b”, vamos supor que ela faça o seguinte: ela suba, de certa forma, mas no ponto de máximo, ela não é definida, ela desce até um determinado ponto e no ponto de mínimo, ela não é definida. Veja, por mais que você chegue neste ponto, por mais que se aproxime deste ponto, vamos chamar de ponto “c”, ela não é definida neste ponto, ou seja, f(c) não existe. Você pode se aproximar o quanto quiser de “c”, mas quando você chega em “c”, ela não tem definição, portanto ela não tem um ponto de máximo. E no ponto que seria o ponto de mínimo, vamos chamar de ponto “d”, aqui sendo o ponto de mínimo, ponto “b”, ela teria aqui f(d), mas este f(d) não existe, e por que ele não existe? Porque ele não está definido na função, a função não é contínua. Vamos ver outro exemplo quando o espaço for aberto, ou seja, quando o intervalo entre “a” e “b” for o intervalo aberto. Então temos nosso eixo “x”, temos nosso f(x), temos nosso “a” e temos nosso “b”, mas ele não é definido nem em “a” e nem em “b”, por isso colocamos entre parênteses. Então, vamos supor que seja uma função deste tipo. Você pode se aproximar de “a” o quanto quiser, mas ele é um espaço aberto em “a”. Ele não incluindo “a” significa que não existe f(a), pois f(a) não está definida, e o ponto “b” também não está definido, não existe f(b). Portanto, ela não tem nem o ponto de máximo nem o ponto de mínimo. Vamos supor ainda que você tenha uma função que seja definida, que f(a) seja aqui e f(b) seja por aqui, E a função faça exatamente isso, uma reta daqui para cá. Neste caso, ela é definida no ponto “a”, então ela tem f(a), ela é definida no ponto “b”, portanto, ela tem f(b). O ponto “a” vai ser o ponto de mínimo, f(a) a vai ser o ponto de mínimo, e no ponto “b” vai ser o ponto de máximo, f(b) vai ser o ponto de máximo. Então, podemos afirmar que f(x) está compreendido entre f(c) e f(d), e pode ser igual a f(c) ou pode ser igual a f(d). Ou seja, f(x) é maior ou igual a f(c), ela pode ter um ponto de mínimo, em que “c” coincide com “a” e este ponto de mínimo vai ser o próprio “a”, e f(x) pode ser o ponto “d”, em que você tem o ponto “b” igual ao ponto “d”, e temos f(x) ou f(d) igual a f(d), que é o ponto de máximo. Então, resumindo para o Teorema do Valor Extremo, tem que ser pelo menos definida no intervalo ab, incluindo “a” e incluindo “b”, e tem que ser pelo menos contínua para que exista um valor máximo absoluto e um mínimo absoluto.