Pontos de inflexão (algébra)

RKA4JL - Seja g(x) igual a ¼ x⁴ menos 4x³ mais 24x². Para quais valores de x o gráfico da função g possui pontos de inflexão? O que são pontos de inflexão? São pontos em que ela muda da concavidade para baixo para a concavidade para cima ou ela tem a concavidade para cima e muda a concavidade para baixo. Como é que nós podemos descobrir quais são os pontos em que ela muda a sua concavidade? Quando g''(x) muda de sinal. Então vamos ver quem é g''(x). Vamos primeiro ver quem é g'(x). g'(x) vai ser 4 vezes ¼, que vai ser 1, então é x³, menos 12x² mais 48x. Então quem vai ser g''(x)? Vai ser 3x² menos 24x mais 48. Ora, queremos saber se ela muda de sinal. Vamos igualar a zero. Nós vamos ter a seguinte expressão: 3x² menos 24x mais 48 igual a zero. Vamos dividir tudo por três, portanto vamos ficar com x² menos 8x mais 16 igual a zero. Quais são os números que multiplicados dão 16 e somados dão 8? Seria 4. Portanto (x menos 4)². Nós temos x menos 4 igual a zero. Então x igual a 4, o que torna essa função igual a zero. Vamos ver antes de 4 e depois de 4 como é que se comporta a função. Nós temos 4 aqui temos números antes do 4, então vamos colocar o zero, vamos ter outros números depois de 4, vamos colocar o 10. Ora, quem é g(0), g''(0)? g''(0) nós vamos ver que é 48. Então é um número positivo, portanto antes de 4g''(x) é maior do que zero. Então todo esse espaço antes do 4 é maior do que zero. Depois do 4 vamos ver g(10), g''(10). g''(10) nós vamos ter 3 vezes 100, que vai dar 300, menos 24 vezes 10, 240, mais 48 vamos ter 60 mais 48, 108, que é um número maior do que zero também. Portanto g''(x) depois de 4 é um número maior do que zero. Você pode estar se perguntando: "Ora, e no g''(4)?" g''(4) é igual a zero, mas ela não muda de sinal. Portanto ela não muda a concavidade. Aqui ela praticamente muda a concavidade, mas não muda a concavidade, ela é igual a zero e não muda, pois aqui ela tem a concavidade para cima, porque ela é positiva, e aqui ela tem a concavidade para cima também, porque ela é positiva, e nesse ponto ela praticamente muda a concavidade, mas não muda. Ela chega no valor igual a zero. Vamos ver o que está acontecendo através de uma simulação, pois fica mais fácil de a gente compreender. Veja que de 5 até 10 ela não muda a concavidade. Nesse ponto ela tem inclinação zero, depois ela vai subindo. No ponto igual a 4 ela quase que muda a concavidade, mas não muda e depois ela volta a crescer e tem toda sua curva representada com a concavidade para cima. Portanto, voltando para o nosso problema, podemos dizer que não existem pontos de inflexão e vamos colocar uma exclamação para deixar bem claro.