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Análise de problemas de taxas relacionadas: expressões

Quando temos um problema de taxas relacionadas nas mãos, é melhor primeiro ter certeza de que entendemos todas as grandezas envolvidas.

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Transcrição de vídeo

RKA4JL - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo vamos resolver um problema sobre taxa de variação. Esse problema diz o seguinte: a base b(t) de um triângulo está diminuindo a uma taxa de 13 metros por hora e altura h(t) do triângulo está aumentando a uma taxa de 6 m/h. Em um certo instante t₀, a base tem 5 metros e a altura tem 1 metro. Qual é a taxa de variação da área a(t)? Como a gente pode perceber aqui, a área é uma função de t, então qual é essa taxa de variação da área do triângulo nesse instante? O que vamos fazer aqui nesse exercício, em vez de ir direto e tentar resolver isso, é tentar identificar cada uma das unidades de medida para essas expressões aqui e também tentar pensar sobre quais informações são fornecidas e quais não são. Isso realmente vai nos dar ferramentas para resolver esse problema de taxa de variação. Então vamos fazer a primeira parte. Vamos combinar cada expressão com suas unidades. Como sempre, pause o vídeo e veja se você consegue fazer isso sozinho ou sozinha. OK, vamos lá. Primeiro o que a gente tem aqui é b'(t). Essa é a taxa de variação da base em relação ao tempo. Se a gente pensar sobre isso, b(t) é a base, então isso aqui vai ser em metros. Sendo assim, b'(t) vai ser assim. Nossa base está mudando em relação ao tempo. Isso aqui vai ser em metros por... A questão nos dá isso. Foi falado que está diminuindo a uma taxa de 13 m/h, então a unidade aqui é metro por hora. b'(t) vai estar em m/h. Agora "a" em um tempo t₀. Lembre-se: "a" é a área do nosso triângulo e estamos medindo tudo isso em metros. Você pode dizer a partir das informações que a questão forneceu. Então a área está em unidades quadradas, e nesse caso será metros quadrados. Agora a altura no tempo t₀. Tanto a base quanto a altura são comprimentos que estão sendo medidos em metros. Então nossa altura em t₀ está em metro. Agora aqui a gente tem a taxa de variação da área em relação ao tempo. Já sabemos que a nossa área está em metros quadrados, mas queremos saber isso aqui, que é a taxa de variação da nossa área em relação ao tempo. Então vai ser uma quantidade de área por unidade de tempo, e o tempo aqui estamos usando em horas, como você pode ver a partir de algumas informações que a questão forneceu. Então isso aqui vai ser a área por unidade de tempo, ou metros quadrados por hora. Então vai ser isso bem aqui, área por unidade de tempo, afinal o comprimento nós estamos medindo em metros e o tempo em horas. Agora a questão pede para combinar cada expressão com seu valor fornecido. Vamos começar por aqui. Qual é a base do triângulo no tempo t₀? A questão fornece isso? Vamos ver. A questão fala que em um determinado momento, em um certo instante t₀, a base... (deixe-me sublinhar isso com uma cor diferente) a base em um certo instante t₀ tem 5 metros. Como sabemos, a base é uma função do tempo, mas a questão falou que no instante de tempo t₀ a base é igual a 5 metros. Portanto são 5 metros bem aqui. Agora, qual o valor da taxa de variação em relação ao tempo? Foi falado disso aqui? Olhe bem aqui. Essa é realmente a primeira peça de informação que a questão forneceu: a base b(t) do triângulo está diminuindo a uma taxa de 13 m/h. Então a taxa de mudança da base, que é b'(t), que também é igual a db/dt, está diminuindo a uma taxa de 13 m/h. Então isso seria 13 m/h negativo. Sendo assim, a taxa de variação da base em relação ao tempo é 13 negativo. Agora a'(t), que é a taxa da variação da área no tempo t₀, foi nos dado isso? Na verdade a questão perguntou isso: qual é a taxa de variação de a(t) do triângulo nesse instante? Então é isso que realmente precisamos descobrir, já que a questão não forneceu essa informação. Caso contrário, não teríamos problemas para encontrar a resposta. Portanto isso aqui não é fornecido, não é dado. Na verdade é isso que estamos tentando encontrar. Por último temos a primeira derivada da altura em relação ao tempo. Sendo assim você pode ver isso como dh/dt. O que vai ser isso? Isso foi fornecido? Foi dito que a altura do triângulo está aumentando a uma taxa de 6 m/h, então se a questão está dizendo que h(t) está aumentando, está sendo dita a taxa de variação de h(t) em relação ao tempo. Além disso, a questão também fala que h'(t) é igual a 6 m/h positivo. A questão realmente forneceu isso. Mas porque tudo isso é um exercício útil para se fazer? Agora estamos realmente prontos para resolver a questão, porque, em geral, se estamos falando sobre qualquer triângulo, nós sabemos que a área é igual à metade da base vezes altura. Agora, nessa situação, a área de nossa base e a nossa altura são funções de t. Então podemos escrever a(t) sendo igual a ½ vezes b(t) vezes h(t). E se a gente quiser encontrar a taxa de variação da nossa área em algum instante, e o instante em que a questão está falando é no tempo t₀, então o que devemos fazer é derivar ambos os lados em relação ao t. A derivada do lado esquerdo é a'(t) e a derivada do lado direito é ½ vezes... Aqui precisamos usar a regra do produto. Então vamos ter que a derivada da primeira função em relação ao tempo, que nesse caso é b'(t), vezes a segunda função mais a primeira função, que é b(t), vezes a derivada da segunda função em relação ao tempo e precisamos descobrir não apenas a expressão geral, porque o problema pediu para determinar a taxa de variação da área no instante de tempo t₀. Sendo assim temos que a'(t₀), que é o que queremos descobrir, é igual a ½ vezes (b'(t₀) vezes h(t₀) mais b(t₀) vezes h'(t₀)). Agora isso pode parecer assustador, porém a questão deu muitas informações. O que é b'(t₀)? É a taxa de variação de b em relação ao tempo, e isso é -13 m/h. Isso aqui foi fornecido. E h? Qual é a altura no tempo t₀? Isso nos foi fornecido também. Em um certo instante t₀ a base tem 5 metros e altura tem um metro. Então a questão informou b e h em t₀. Isso foi fornecido e isso foi fornecido. Qual é a taxa de variação da altura no tempo t₀? Isso também foi fornecido. A altura do triângulo está aumentando a uma taxa de 6 m/h, então isso foi fornecido também. Tudo isso é dado e basta substituir estes valores para você descobrir a taxa de variação da área no instante de tempo t₀. Bem meu amigo ou minha amiga, eu espero que você tenha compreendido tudo isso aqui que conversamos e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!