Exemplo resolvido: derivando funções relacionadas.

RKA8JV - Olá, meu amigo ou minha amiga, tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos resolver um exemplo sobre derivadas de funções relacionadas. O exemplo diz para a gente que as funções diferenciáveis "x" e "y" estão relacionadas pela seguinte equação: O sen(x) + o cos(y) = √2. O problema também diz que a derivada de "x" em relação a "t" é igual a 5. Aí, ele pede para encontrar a derivada de "y" em relação a "t" quando "y = π /4" e "x" é maior que zero e menor que π/2. Então, o problema nos forneceu a "dx" em relação a "t" e queremos encontrar a "dy" em relação a "t". Com base nessas informações, podemos supor que "x" e y são funções de "t", certo? Então, você pode até reescrever essa equação bem aqui da seguinte forma: sen(x), que é uma função de "t", mais o cos(y), que também é uma função de "t", é igual a √2. Bem, isso pode te confundir um pouco. Você não está acostumado a ver "x" como uma função de uma terceira variável, ou "y" como a função de algo diferente de "x". Mas lembre-se, "x" e ''y" são apenas variáveis. Isto pode ser f(t) e isso pode ser g(t) em vez de x(t) e y(t). Dessa forma, isso pode parecer um pouco mais natural para você. Mas, enfim, se a gente quiser encontrar de dy/dt, a gente precisa derivar em relação a "t" ambos os lados dessa equação. Então vamos fazer isso aqui agora. Vamos fazer isso primeiro aqui do lado esquerdo. Então vamos derivar isto em relação a "t". Também vamos derivar isso aqui aqui em relação a "t", aí derivamos aqui do lado direito também, ou seja, derivamos esta constante em relação a "t". Vamos pensar agora sobre cada uma dessas coisas. Como podemos derivar esta primeira parte aqui? Ou seja, a derivada em relação a "t" do seno de algo que é uma função de "t''. Bem, para isso, aplicamos a regra da cadeia. Primeiro, a gente vai derivar aqui em relação a "x" o sen(x). Eu poderia escrever aqui o sen(x(t)), mas, por uma questão de simplificação, eu vou colocar apenas o sen(x) aqui, ok? E aí multiplicamos isso com a derivada da função que está dentro do seno em relação a "t", ou seja, multiplicamos a derivada de "x" em relação a "t". Isso pode ser um pouco contra-intuitivo para você que aplicou a regra da cadeia antes, quando a gente estava lidando apenas com "x" e "y". Mas a ideia que é a mesma, eu estou pegando a derivada aqui do lado de fora, que nesse caso é o seno de algo em relação esse algo, que nesse caso é "x". E aí, eu multiplico isso com a derivada do que está dentro, que, nesse caso, é o "x" em relação a "t". Bem, podemos fazer a mesma coisa aqui nesse segundo termo. Primeiro derivamos em relação a "y", o que está aqui do lado de fora, que nesse caso é o cos(y), e aí multiplicamos isso aqui com "dy/dt''. Bem, tudo isso vai ser igual a quê? Bem, será a derivada em relação a "t" de uma constante. A raiz quadrada de 2 é uma constante, ou seja, não vai mudar conforme "t" muda. Então, a derivada, que é a taxa de variação, vai ser zero. Ok, agora, o que temos que fazer é descobrir todas essas coisas aqui. Então, antes de tudo, a derivada em relação a "x" do sen(x) é cos(x), e isso vezes "dx/dt". Eu vou escrever isso aqui da seguinte forma: "dx/dt" vezes o cos(x). Agora, vamos fazer a mesma coisa aqui com esta parte. Qual é a "d[cos(y)]/dy"? A derivada em relação a "y" do cos(y) é igual a -sen(y). Aí multiplicamos isso com "dy/dt". Aí colocamos dy/dt e multiplicamos isso com o sen(y). Bem, podemos escrever isso colocando o sinal de negativo aqui na frente, aí tudo isso vai ser igual a zero. Bem, o que podemos descobrir agora? O problema informou que "dx/dt = 5". Isso foi dito bem aqui, então, isso é igual a 5. Queremos encontrar "dy/dt", certo? Ah, o problema também disse que "y = π/4" , então podemos dizer que isso aqui, ou seja, "y", é π/4. Bem, ainda temos duas incógnitas aqui. Não sabemos o que é "x" e não sabemos qual é a "dy/dt", então, isso é o que precisamos descobrir. Qual é o valor de "x"? Ou seja, qual o valor de "x" quando ''y" é π/4? Para descobrir isso, podemos voltar nesta equação original aqui em cima. Então, quando o "y" é π /4 temos que, vamos escrever isso aqui embaixo? Eu acho que é melhor. "sen(x) + cos(π/4) = √2". Qual é o cos(π/4)? Bem, para descobrir isso, podemos pensar em nosso círculo trigonométrico. Nós estaremos no primeiro quadrante. Se a gente pensar em graus, é um ângulo de 45°, então, "cos(π/4) = √2/2". Assim, podemos subtrair √2/2 de ambos os lados. Com isso, temos que o sen(x) é igual a, bem, se você subtrair √2/2 da √2, você vai estar subtraindo a metade da √2, então você terá apenas a metade da √2 sobrando. Sendo assim, temos que isso é igual a √2/2. Agora, tendo tudo isso aqui, qual é o valor de ''x" quando eu pego o seno desse valor e encontramos isto aqui? Para responder isso, lembre-se onde está o ângulo. Se estamos pensando em um circulo trigonométrico nesse primeiro quadrante, "x'' é um ângulo nesse intervalo. Sendo assim, isso vai ser mais uma vez π/4. Então, isto aqui nos diz que "x = π/4" quando "y = π/4". Sendo assim, isto aqui também vai ser π/4. É legal reescrever isso aqui porque está ficando já um pouco confuso. Nós temos aqui, "5 vezes cos(π /4) - dy/dt", a derivada de "y" em relação a "t", que é o que queremos descobrir, vezes sen(π/4) . E tudo isso é igual a zero. Bem, a gente tem que fazer um algebrismo aqui agora. O cos(π/4), é a √2/2. O sen(π/4) também é a √2/2 Agora vamos ver aqui. Se a gente dividir os dois lados dessa equação pela √2/2, o que a gente vai ter? Bem, isto aqui vai ser: √2/2 dividido pela √2/2, e isso é igual a 1. A mesma coisa aqui, √2/2 dividido √2/2, que vai ser igual a 1. Agora, aqui do lado direito nós temos zero dividido por √2/2, que, nesse caso, é igual a zero. Aí, tudo isso fica apenas igual a 5 vezes 1, que é apenas 5, menos dy/dt, e tudo isso igual a zero. Agora, basta adicionar dy/dt em ambos os lados e assim, encontraremos dy/dt, que nesse caso é igual a 5. Isso, claro, quando todas essas outras coisas aqui são verdadeiras, quando dx/dt é 5 e y = π/4. Enfim, meu amigo ou minha amiga, eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho o que conversamos aqui, e mais uma vez, eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!