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Exemplo resolvido: derivando funções relacionadas.

Às vezes temos uma equação que se relaciona a funções com a mesma variável. Aprenda como usar derivação implícita para calcular as derivadas das funções em função dessa variável.

Transcrição de vídeo

o Olá meu amigo minha amiga tudo bem com você seja muito bem-vindo ou bem-vindo a mais um vídeo daquela Academy Brasil e nesse vídeo vamos resolver um exemplo sobre derivadas de funções relacionadas o exemplo diz para gente que a gente funções diferenciáveis x e y estão relacionadas pela seguinte equação o seno de x mais o cosseno de y = raiz quadrada de dois o problema também diz que a derivada de x em relação a t = 5 aí ele pede para encontrar a derivada de y em relação ats quando Y = pi sobre 4 e X é maior que 0 e menor que pi sobre 2 então o problema nos forneceu a derivada de x em relação a t e queremos encontrar a derivada de y em relação a ter com base nessas informações podemos supor que x e y são funções de T certo então você pode até e verás aí o coração bem aqui da seguinte forma sendo de x que é uma função de ter mais o cosseno de y que também é uma função de ter = raiz quadrada de dois tudo bem você pode te confundir um pouco você não está acostumado a ver X como uma função de uma terceira variável ou Y como a função de algo diferente de x mais Lembre se x e y são apenas variáveis isso pode ser f de ter isso pode ser g de ter em vez de X DT Y DT dessa forma isso pode parecer um pouco mais natural para você mas enfim né se a gente quiser aqui encontrar de ydt a gente precisa derivar em relação a Ter ambos os lados dessa equação Então vamos fazer isso aqui agora vamos fazer isso primeiro aqui do lado esquerdo Então vamos derivar isso em relação a t também vamos derivar isso aqui em relação à E aí dele vamos aqui do lado direito também ou seja dele vamos essa constante em relação a ter Vamos pensar agora sobre cada uma dessas coisas como podemos derivar essa primeira parte aqui ou seja a derivada em relação a t do sendo de algo que é uma função de ter bem para isso aplicamos a regra da cadeia primeiro a gente vai derivar aqui em relação a x o seno de x eu poderia escrever aqui o seno de x de ter mais por uma questão de simplificação eu vou colocar apenas o seno de x aqui ok E aí multiplicamos isso com a derivada da função que está dentro do seno em relação a t ou seja multiplicamos a derivada de x em relação a ter isso pode ser um pouco contra-intuitivo para você que aplicou a regra da cadeia Antes quando a gente estava lidando apenas com x e y mas a ideia que a mesma eu estou pegando a derivada aqui do lado de fora que nesse cá o medo de algo em relação esse algo que nesse caso a x E aí é o multiplico isso com a derivada do que está dentro que nesse caso é o x em relação a ter bem Podemos fazer a mesma coisa aqui nesse segundo termo primeiro derivamos em relação a y o que está aqui do lado de fora que nesse caso é o cosseno de y e aí multiplicamos isso aqui com a derivada de y em relação a ter bem tudo isso vai ser igual ao que bem ser a derivada em relação até de uma constante a raiz quadrada de O2 é uma constante ou seja não vai mudar conforme te muda então a derivada que é a taxa de variação vai ser zero OK agora o que temos que fazer é descobrir todas essas coisas aqui então antes de tudo a derivada em relação a x do seno de x é o cosseno de x e eu sou vezes a derivada de x em relação a ter eu vou escrever isso aqui da seguinte forma e nada de X em relação ATX o cosseno de x agora vamos fazer a mesma coisa que com essa parte qual é a derivada do Cosseno de y em relação a y a derivada em relação à Y do Cosseno de y = - o seno de y aí multiplicamos isso com a derivada de y em relação a ter aí colocamos a derivada de y em relação a t e multiplicamos isso como sendo de y bem podemos escrever isso colocando o sinal de negativo aqui na frente aí o tudo isso vai ser igual a zero bem o que podemos descobrir agora o problema informou que a derivada de x em relação a t = 5 isso foi dito bem aqui então isso é igual a 5 queremos encontrar a derivada de y em relação a t certo ao problema também disse que y é igual a pi sobre 4 então podemos dizer que isso aqui ou seja Y apps sobre 4 é bem Ainda temos duas incógnitas aqui não sabemos o que é x e não sabemos Qual é a derivada de y em relação a ter Então isso é o que precisamos descobrir qual é o valor de x ou seja qual o valor de x quando Y é pi sobre 4 para descobrir isso podemos voltar nessa equação original aqui em cima então quando o y é piso sobre quatro temos que vamos escrever isso aqui embaixo eu acho que é melhor o seno de x mais o cosseno de pi sobre 4 = raiz quadrada de dois Qual é o cosseno de pi sobre 4 bem para descobrir isso podemos pensar em nosso circulo trigonométrico nós estaremos no primeiro quadrante se a gente pensar em graus é um ângulo de 45 graus então o cosseno de pi sobre 4 = raiz quadrada de 2 sobre 2 assim podemos subtrair a raiz quadrada de 2 sobre 2 de ambos os lados com isso temos que o senhor Além disso é igual a bem se você subir trair a raiz quadrada de 2 sobre 2 da raiz quadrada de dois você vai estar subtraindo a metade da raiz quadrada de dois então você terá apenas a metade da raiz de 2 sobrando sendo assim temos que isso é igual à raiz quadrada de 2 sobre 2 agora até um do tudo isso daqui Qual é o valor de x quando eu pego sendo desse valor e encontramos isso aqui para responder isso lembre-se Onde está o ângulo você estamos pensando em um circulo trigonométrico nesse primeiro quadrante x um ângulo nesse intervalo sendo assim e você vai ser mais uma vez que sobre quatro então isso aqui nos diz que x = Pi sobre 4 quando Y = pi sobre 4 sendo assim e os aqui também vai ser Pio sobre quatro é legal reescrever isso aqui porque está ficando já um pouco confuso nós temos aqui cinco vezes o cosseno de pisos 14 - dyd a derivada de y em relação ats que é o que queremos descobrir vezes o seno de pi sobre 4 e tudo isso é igual a zero bem a gente tem que fazer um algebrista aqui agora o cosseno de pi sobre 4 é a raiz quadrada de 2 sobre 2 o seno de pi sobre 4 também a raiz quadrada de 2 sobre 2 agora vamos ver aqui se a gente dividiu os dois lados dessa equação pela raiz quadrada de 2 sobre 2 O que a gente vai ter bem só que vai ser a raiz quadrada de 2 sobre 2 dividido pela raiz quadrada de 2 sobre 2 e isso é igual a um a mesma coisa aqui a raiz quadrada de 2 sobre 2 dividido pela raiz quadrada de 2 sobre 2 que vai ser igual a um agora aqui do lado direito nós temos 10 dividido pela raiz quadrada de 2 sobre 2 que nesse caso é igual a zero aí o tudo isso fica apenas = 5 x 11 15 menos a derivada de y em relação a t e tudo isso igual a zero agora basta adicionar a derivada de y em relação a t Em ambos os lados e assim encontraremos a derivada de y em relação a t que nesse caso = 5 isso claro quando todas essas outras coisas aqui são verdadeiras quando a derivada de x em relação até a 5y = pi sobre 4 Enfim meu amigo ou minha amiga eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho que conversamos aqui e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima