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Introdução à derivação de funções relacionadas.

Às vezes temos uma equação que se relaciona a funções com a mesma variável. Usando a regra da cadeia, podemos calcular as derivadas dessas funções em função dessa variável.

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Transcrição de vídeo

RKA4JL - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo vamos fazer uma introdução em relação às ideias sobre funções diferenciáveis que são relacionadas. Aqui nós fomos informados que as funções diferenciáveis x e y são relacionadas pela seguinte equação: y é igual à raiz quadrada de x. Algo interessante é que aqui está sendo dito que ambas as funções são diferenciáveis. Sendo assim, até mesmo x é uma função, ou seja, deve ser uma função de uma outra coisa. O problema diz que a derivada de x em relação a t é 12 e ele pede para encontrar a derivada de y em relação a t quando x é igual a 9. Vamos ter certeza que nós entendemos isso. Então, está sendo informado que tanto x quanto y são funções. Indiscutivelmente ambas são funções de t, já que y é uma função de x, que é uma função de t. Então y também é uma função de t. Uma forma de pensar sobre isso é se x for igual a f(t). Como y é igual à raiz quadrada de x, então y é igual à raiz quadrada de f(t). Outra forma de pensar isso é que se colocar t como entrada em sua função f, você vai produzir x, e se colocar isso como entrada na função raiz quadrada, você vai produzir y. Sendo assim, você pode apenas ver isso aqui como uma grande caixa em que y é uma função de t. Mas agora vamos realmente responder à sua pergunta. Para resolver isso só temos que aplicar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que a derivada de y em relação a t vai ser igual a derivada de y em relação a x vezes a derivada de x em relação a t. Então vamos aplicá-la a essa situação particular aqui. Vamos ter a derivada de y em relação a t sendo igual à derivada de y em relação a x. Isso é o quê? y é igual à raiz quadrada de x. Você também pode escrever isso como y sendo igual a x elevado a meio. Fazendo dessa forma, podemos utilizar a regra da potência. Sendo assim, a derivada de y em relação a x é igual a ½ vezes x elevado a -½. Então vamos escrever isso: ½ vezes x elevado a -½ e isso vezes a derivada de x em relação a t. Vamos ver. Nós queremos encontrar o que temos aqui em laranja. É isso que o problema perguntou. Ele nos disse que quando x é igual a 9, a derivada de x em relação a t é igual a 12. Portanto, temos todas as informações necessárias para resolver isso aqui. Então isso vai ser igual a ½ vezes 9 elevado a (-½) vezes dx sobre dt, ou seja, a derivada de x em relação a t, que é igual a 12. Então vamos ver aqui. Isso é igual a ½ vezes 9 elevado a (-½) que é igual a ⅑ elevado a (½) que é igual a 1 sobre 3, ou ⅓. Isso vezes 12. Agora temos que dy sobre dt é igual a ... Resolvendo os denominadores, temos ½ vezes ⅓, que é igual a ⅙. Multiplicando isso com 12, temos 12 sobre 6. Então a derivada de y em relação a t, quando x é igual a 9, é igual a 12 dividido por 6, que é igual a 2. Enfim, meu amigo ou minha amiga, eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho e mais uma vez eu quero deixar aqui para você um grande abraço e até a próxima!